Ciencialogia

Escuela T´cnica Superior de Ingenier´ Industrial - Universidad de M´laga
e
ıa
a

G.I. Electr´nica, Rob´tica y Mecatr´nica
o
o
o
Matem´ticas II (C´lculo) - 9de Febrero de 2013
a
a

1. Sea la funci´n y = f (x) definida impl´
o
ıcitamente por la ecuaci´n x2 + y 3 − 2 y = 3. Considera el punto x = 2.
o
a) Calcula laderivada f (2).
b) Escribe la ecuaci´n de la recta tangente a f (x) en (2, 1).
o
1
2

2.

x − cos 2x
√
dx.
x2 − sen 2x
0
b) Sea la regi´n limitada porlas par´bolas y = x2 − 4,y = 4 − x2 . Calcula el volumen generado al girar esta
o
a
regi´n
o

a) Calcula, si es posible, la integral impropia

1) en torno eleje X.
2) en torno a la recta x = 4.
∞

3.

a) Estudia la convergencia de la serie num´rica
e

n2 + 1
√
.
n5 − 1
n=2
∞

b) Calcula el intervalo deconvergencia de la serie funcional

n
(x − 2)n .
n+1
n=1
∞

(1 − n)3 (x − 3)n . Contesta las siguientes

4. Sea una funci´n f (x) cuya serie de Taylor centradaen x = 3 es
o
n=0

cuestiones brevemente de forma razonada.
a) ¿Cu´les son los valores f (3), f (3), f (3) de la funci´n y sus derivadas en x = 3?
a
o
b) ¿Lafunci´n f (x) es continua en x = 3?
o
c) ¿Hay un m´ximo local de f (x) en x = 3?
a
d ) Esboza esquem´ticamente la gr´fica de la funci´n en un entorno de x = 3.
aa
o
e) Calcula un valor aproximado de f (3,1).
f ) Calcula l´
ım

x→3

1 − f (x)
ex−3 − x + 2

5. Considera la ecuaci´n diferencial
o

dy
x+1
=
.
dxy

a) Calcula la soluci´n general.
o
b) Calcula la soluci´n particular con la condici´n inicial y(0) = 1 y esboza la gr´fica de esta soluci´n.
o
o
a
o