ciencias ambientales

Sistemas de ecuaciones lineales y
matrices
Ejemplo 1. Resolver las siguientes ecuaciones:
1. 3x + 5 = 7
2. x − 2y = 2
3. x2 + y 2 = 25
4. x + 3y + 2z = 5
¿Cu´les son ecuaciones lineales?
a
Conceptos utilizados: lineal, par´metro, soluciones param´tricas, grados
a
e
de libertad.
J. Medina. Dpto. Matem´ticas
a

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1

Ejemplo 2. Resolver los siguientes sistemas deecuaciones:
1.

x−y =0
x2 + y 2 = 25

2.

4x + 3y = 5
2x + y = 1


2x + y + z = 0

3. x − y = 0


y−z =1
¿Cu´les son sistemas lineales?
a
Cuando se est´ resolviendo un sistema se construyen sistemas equivalentes
a
m´s sencillos.
a
Definici´n 1. Dos sistemas se dice que son equivalentes si tienen el
o
mismo conjunto de soluciones.
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2

Transformaciones v´lidas:
a
1. Intercambiar dos ecuaciones.
2. Multiplicar una ecuaci´n por una constante.
o
3. Sumar a una ecuaci´n otra multiplicada por una constante.
o
Ejemplo 3. Reducir los siguientes sistemas
transformaciones v´lidas para despu´s resolver.
a
e
1.

4x + 3y = 5
2x + y = 1

2.

2x + 3y = 9
4x + 6y = 18

lineales

utilizando

2x+ 3y = 9
4x + 6y = 12

2x + y + z = 0

4. x − y = 0


y−z =1
3.

Ejercicio 1. Comprobar que las soluciones obtenidas son v´lidas.
a

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a

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3

Ejemplo 4. Resuelve los siguientes sistemas lineales:

2x + z = 4
2x = 5

1.
5. −y − 2z = 2
z=1



x − 2y + 4z = 1
2x = 8


−z = 4
2. 2y = 18



6. −2z =2
2z = 1



x + 2y = 1
2x − 3z = 1

−3y = 6
3. −y + 3z = 18

7.

x − 2y = 1
z=1


2x = 4
x + y − 4z = 6


4. 2x − y = 2
8. 2x + y = 0




x − 2y + 4z = 1
−x + 4z = −2
M´todo de Gauss: Transformar un sistema a otro equivalente escalonado.
e
En todo el proceso las inc´gnitas se han mantenido en su sitio, s´lo
o
o
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4

se han modificado los coeficientes de las inc´gnitas y los t´rminos
o
e
independientes. Por lo tanto, del sistema:

2x + y + z = 0

x−y =0


y−z =1
la informaci´n esencial queda perfectamente expresada escribiendo:
o




2 1
1 0
 1 −1 0 0 
0 1 −1 1
en cada fila se representa una ecuaci´n, escribiendo los coeficientes de
o
las variables (enorden) junto con el t´rmino independiente.
e
A esta representaci´n del sistema se la llama representaci´n matricial del
o
o
sistema. Se dice que esta matriz tiene 3 filas y 4 columnas, y por lo
tanto es de orden 3 × 4. Es conjunto de todas las matrices de orden
3 × 4 se representa por: M3×4.
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a

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5

Matrices con coeficientes reales
LlamamosMm×n(R) al conjunto de las matrices


a11 a12
 a21 a22
A= .
.
 .
.
am1 am2

...
...
...
...



a1n
a2n 
. 
. 
amn

donde los elementos en la matriz aij son n´meros reales.
u

Operaciones con matrices
Suma: A, B ∈ Mm×n, entonces A + B = (aij + bij ). Ejemplo:
4 3
2 1

+

0 −3
1 −2

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a

=

4 + 0 3 + (−3)
2 + 1 2 + (−2)

=4 0
3 −2
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6

2 0 −3
0 −1 3

+

0 −3
1 −2

Producto de un n´mero real por una matriz: Si a ∈ R y A ∈
u
Mm×n, entonces a · A = (a · aij ). Ejemplo:
√

−2 ·

2·

4 3
2 1

√
√
4√ 2 3 2
√
2 2
2

=

2 0 −3
0 −1 3

=

−4 0 6
0 2 −6

Producto de Matrices: Si A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×p entonces
n

AB =

aikbkj

∈ Mm×p

k=1
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a

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Ejemplo:



2 0 −3

2 0 −3
0 −3
1 −2

2
 2  =
1
0
1

2 0 −3
0 −1 3

2 · 2 + 0 · 2 + (−3) · 1

= ?
=

0 3 −9
2 2 −9

0 −3
2 0 −3
= ?
1 −2
0 −1 3





2 0 −3
2 0 0
1 6 −12
 0 −1 3   2 −1 0  =  1 −5 12 
0 0
1
1 −2 4
1 −2
4

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a

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8

=

1...