CIENCIAS FORMALES E INFORMALES

LAS CIENCIAS FORMALES: EL MÉTODO AXIOMÁTICO-DEDUCTIVO
Las ciencias formales (lógica y matemática) utilizan el método axiomático-deductivo. Dicho
método consiste en tomar como punto de partida una serie de axiomas (del griego αξιωμα: aquello
que es considerado como verdadero sin necesidad de prueba o demostración) y, a partir de ellos
proceder deductivamente.
Se entiende por deducción elproceso de razonamiento que permite derivar de una o varias
proposiciones dadas (llamadas axiomas o premisas) otra que es su consecuencia lógica necesaria
y que se denomina conclusión.
Un sistema formal se compone de lo siguiente:
1. Un conjunto finito de símbolos que se utilizan para la construcción de fórmulas. Es el
alfabeto o vocabulario.
2. Una gramática formal, es decir, un mecanismo parala construcción de fórmulas bien
formadas (abreviado: fbf ó wff)
3. Un conjunto de axiomas que deben ser fórmulas bien formadas.
4. Un conjunto de reglas de inferencia (mediante las cuales se obtienen conclusiones en base
a la información conocida)
5. Un conjunto de teoremas que incluye todas las fbf que se pueden derivar de los axiomas o
de otros teoremas mediante reglas de inferencia.
Laspropiedades que deben cumplir los sistemas formales son:
1. CONSISTENCIA: No ha de ser posible demostrar en él una fórmula y su negación.
2. COMPLETUD: Todas las fórmulas lógicamente válidas (verdaderas bajo cualquier
interpretación) han de ser demostrables a partir de los axiomas y las reglas de inferencia.
3. DECIDIBILIDAD: Un sistema es decidible cuando existe al menos un método efectivo(un algoritmo) para decidir si una fórmula cualquiera del lenguaje del sistema es
lógicamente válida o no.
Concepto de VERDAD en los sistemas formales:
En los sistemas formales se entiende la VERDAD como COHERENCIA. Esto es, la
verdad o falsedad de un enunciado depende de la relación que ese enunciado mantiene con otros
enunciados, perteneciendo todos a una teoría. Un enunciado es verdaderosi se encuentra en la
adecuada relación de implicación con otros enunciados.

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Ejemplos de axiomas y reglas de inferencia en la Lógica:
AXIOMAS:
(Significado de los símbolos: ┐= negación; V= disyunción)
Principio de no contradicción: ┐(a V ┐a) Afirma que una proposición y su negación no pueden
ser ambas verdaderas almismo tiempo y en el mismo sentido
Principio de identidad: a = a Afirma que toda entidad es idéntica a sí misma.
Principio del tercero excluido: (a V ┐a) Afirma que la disyunción de una proposición y su
negación es siempre verdadera.
ALGUNAS REGLAS DE INFERENCIA:
(Significado de los símbolos: ┐= negación; → = implicación; V = disyunción)
MP (Modus ponens)

MT (Modus tollens)

DN (Doblenegación)

A→B

A→B

A

A

┐B

------

---------

---------

┐┐A

B

┐A

Cp (Contraposición)

Sil (Silogismo)

SD (Silogismo disyuntivo)

A→B

A→B

AVB

--------------

B→C

┐B

┐B → ┐ A

---------A→C

---------A

Ejemplos de axiomas en la matemática
AXIOMAS DE LA ARITMÉTICA
Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un conjunto de axiomas para laaritmética
introducidos por Giuseppe Peano en el siglo XIX. Los axiomas se han utilizado prácticamente sin
cambios para una variedad de investigaciones metamatemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la
consistencia y completud de la aritmética y la teoría de números.
Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:
1.
2.
3.
4.

El 1 es un número natural.
Si n es un númeronatural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo
número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese
número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen...