Ciencias y Artes Militares

CAPITULO 5
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
No solo basta con determinar las medidas de tendencia central para comprender el comportamiento de una serie de datos, es importante además, conocer que tan alejados están esos datos respecto a ese punto de concentración. Las medidas de dispersión nos indican la distancia promedio de los datos respecto a las medidas de tendencia central. Así podremosdiferenciar dos conjuntos de datos que poseen iguales medias, siendo los datos de uno más dispersos del otro.

131

CAPITULO 5: MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Medidas de dispersión: Son indicadores estadísticos que muestran la distancia promedio que existe entre los datos y la media aritmética. En el estudio de las medidas de dispersión daremos un vistazo a cuatro indicadores básicos: Desviación mediaVarianza Desviación estándar Coeficiente de variación El cálculo de cada uno de ellos se toma basado en la media aritmética.

5.1 DESVIACIÓN MEDIA
Para conocer con un solo indicador que tan disperso se encuentran un conjunto de datos a un punto de concentración, debemos como primera medida, calcular la distancia de cada dato respecto a una medida de tendencia central. Por ejemplo: 4 5 2 3 4 5 3 2 5 13 2 2 1 4

Tenemos que la media aritmética es de aproximadamente 3,0667 (indicador de tendencia central por excelencia). El primer dato (4), se aleja de la media en 0,9333 hacia la derecha. Gráficamente tendríamos: 0,933 Dato 1
1 2 3 4 5

X = 3,0667

Para el segundo dato (5) la distancia es de 1,9333 respecto a la media aritmética:

132

1,933 Dato 2 Dato 1
1 2 3 4 5

X = 3,0667Note que el tercer dato (3) posee una distancia de 0,0667 hacia la izquierda de la media. Para indicar las distancias de estos puntos, agregaremos el signo negativo, por tanto, la distancia del tercer dato sería –0,0667. La representación gráfica de todos los puntos quedaría:

Dato 15 Dato 14 Dato 13 Dato 12 Dato 11 Dato 10 Dato9 Dato8 Dato7 Dato6 Dato 5 Dato 4 Dato 3 Dato 2 Dato 1
1 2 3 4 5X = 3,0667
El total de las distancias de los puntos que están a la izquierda respecto a la media es de -8,6 (empleando todos los decimales), que es igual a la sumatoria de las distancias de los puntos que están a la derecha respecto a la media 8,6. Concluimos que la sumatoria de todas las distancias de cada punto respecto a la media aritmética es igual a cero (las distancias se anulan): 133∑ (X
i =1

n

i

− X)= 0

Para responder a la pregunta de ¿qué tan disperso están los datos respecto a la media aritmética?, recurriremos nuevamente al promedio simple. Para llegar a una fórmula básica de dispersión, en que las distancias positivas y negativas no se eliminen, modificaremos la fórmula anterior para trabajar solo con distancias positivas mediante el valor absoluto:
n∑X
i =1

i

− X = 17,2

La distancia promedio sería de aproximadamente 1,15 (resultado de la división entre la distancia total absoluta y el total de datos). A esta distancia promedio se le conoce con el nombre de desviación media y significa que en promedio, los datos se separan de la media en 1,15. Desviación media (Dm): Equivale a la división de la sumatoria del valor absoluto de lasdistancias existentes entre cada dato y su media aritmética y el número total de datos.
n

∑X
Dm =
i =1

i

−X

n

Se debe hacer la distinción que para datos poblacionales (no agrupados), la fórmula quedaría:
N

∑X
Dm =
i =1

i

−µ

N

La variación para los datos agrupados en tablas tipo B radica en cambiar el valor de Xi por la marca de clase correspondiente,multiplicando esa distancia por su frecuencia:

134

Nc

Nc

∑
Dm =
i =1

Mc i − µ . f i N Dm =

∑ Mc
i =1

i

− X . fi

n
Muestra

Población

Para las tablas tipo A solo cambiaremos la marca de clase por su respectivo valor de clase (representada por Xi):

Nc

Nc

∑
Dm =
i =1

X i − µ . fi N Dm =

∑X
i =1

i

− X . fi n

Población

Muestra

5.1.1 Ejemplo:...