Ciencias

Método de cálculo

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3. Método de cálculo.
Como método de cálculo vamos a seguir el método de los desplazamientos, en el que las incógnitas son los desplazamientos de los nudos de la estructura. Y para estudiar el método, y ver como se determina la matriz de rigidez del pórtico, se va a sistematizar. En primer lugar hay que hallar la matriz de rigidez de cada una de las barras que componenla estructura, referidas a unas coordenadas locales propias de cada barra. Posteriormente todas estas matrices se refieren a unas coordenadas globales propias de la estructura, para finalizar agrupándolas en la matriz de rigidez del pórtico, en la cual quedan incorporadas las condiciones de compatibilidad y de equilibrio de todos los nudos.

3.1. Sistemas de ejes coordenados.
En una estructuracontinua plana se utiliza un sistema de ejes globales XG, YG para toda la estructura y un sistema de ejes locales XL, YL para cada barra.

Figura 6. Ejes locales y globales en un pórtico biempotrado.

Tanto en un sistema como en otro, el eje X es el eje longitudinal de la barra y el eje Y se obtiene girando 90º el eje X en sentido sinextrorsum (a izquierdas). En el sistema de ejes locales deuna barra 1-2, el eje X coincide con la directriz de la barra y su sentido positivo es el de avance desde el extremo que se considera origen –1– hasta el extremo final –2–. A este sistema de ejes se refieren las solicitaciones y los desplazamientos de la barra.

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Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas

En el sistema de ejes globales del pórtico se refieren las coordenadasde sus nudos, sus desplazamientos, las fuerzas que equilibran sus nudos y las cargas que actúan sobre la estructura.

3.2. Vectores de desplazamientos y de fuerzas.
Los nudos de una estructura experimentan desplazamientos y están sometidos a fuerzas externas. Análogamente, los extremos de cualquier barra de la estructura experimentan desplazamientos y están sometidos a fuerzas internas osolicitaciones. Todos estos desplazamientos de los nudos y de los extremos de las barras y todas las fuerzas internas y externas se representan por matrices columna, que constituyen los vectores de desplazamientos y de fuerzas.

3.2.1. Desplazamientos y fuerzas internas de un nudo.
YG δ θ δ

YG P P M
δ XG

i

i

P

XG

Figura 7. Desplazamientos de un nudo.

Figura 8. Fuerzas externassobre un nudo.

Un nudo rígido puede experimentar un desplazamiento longitudinal δ y un desplazamiento angular θ (figura 7). Los sentidos positivos de las componentes δx, δy del desplazamiento δ son los que coinciden con los sentidos positivos de los ejes globales XG, YG. El sentido positivo del giro θ es el sentido sinextrorsum. Los desplazamientos del nudo i se representan por el vector {di}G,definido por δ x    = δ y  θ  G

{di }G

Las fuerzas externas que actúan sobre el nudo i son, en general, la fuerza P y el par de momento M (figura 8). Análogamente, los sentidos positivos de las componentes Px, Py de la fuerza P coinciden con los sentidos positivos de los ejes globales XG, YG. El sentido positivo del momento M es el correspondiente a un giro sinextrorsum. Las fuerzasexternas sobre el nudo i se representan por el vector {Pi}G, definido por:

Método de cálculo

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{Pi }G

Px    = Py  M  G

3.2.2. Desplazamientos y solicitaciones en una barra.
θ3
3

δ3 YL δ2
2

XL

∆3

θ2 ∆2 T32
3

M32 N32

XL

YL M23 T23
2

N23

Figura 9. Desplazamientos y solicitaciones en una barra 2-3.

Sea la barra 2-3, que pertenece a unpórtico objeto del estudio. Se adopta el extremo –2– como origen de la barra y se representan el sistema de ejes locales, las solicitaciones y los desplazamientos de sus extremos. Se consideran positivos los desplazamientos longitudinales ∆ y transversales δ dirigidos según los sentidos positivos de los ejes locales XL, YL. Sucede igual con los sentidos positivos de las fuerzas normales N y de las...