Ciencias

Álgebra de matrices

ÁLGEBRA DE MATRICES
Autores: Cristina Steegmann Pascual (csteegmann@uoc.edu), Juan Alberto Rodríguez Velázquez (jrodriguezvel@uoc.edu), Ángel Alejandro Juan Pérez (ajuanp@uoc.edu).

ESQUEMA DE CONTENIDOS

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Definición de matriz

Tipos de matrices

Álgebra de Matrices

Operaciones con matrices

Algunas Aplicaciones

Suma, producto yproducto por un escalar

Cálculo con Mathcad

Modelo metalúrgico

Matrices Input Output

Matriz de adyacencia

INTRODUCCIÓN

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El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos utilizados para resolver problemas en diferentesdisciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenierías, economía, física, estadística y las diferentes ramas de las matemáticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por supuesto, el álgebra. Para obtener información sobre la historia del álgebra de matrices recomendamos [W5]. En este math-block presentamos algunos tipos de matrices, analizamos lasprincipales operaciones con matrices y damos algunas aplicaciones del álgebra de matrices. Además, mostramos las posibilidades que nos brinda el programa Mathcad para el cálculo matricial. Para completar el estudio sobre este tema, recomendamos la lectura de los math-blocks sobre determinantes, matriz inversa y sistemas de ecuaciones lineales.

Proyecto e-Math Financiado por la Secretaría deEstado de Educación y Universidades (MECD)

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Álgebra de matrices

OBJETIVOS
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Conocer algunos tipos de matrices. Conocer las principales operaciones con matrices. Conocer algunas aplicaciones del cálculo matricial. Conocer las facilidades del cálculo matricial usando el programa Mathcad.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

___________________________________Es recomendable haber leído, previamente, los math-blocks introductorios a Mathcad.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Definición de matriz

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Los arreglos rectangulares de números como el siguiente

 8 −1 0    5 0.5 3    
reciben el nombre de matrices. Más formalmente, dado un conjunto X, se denomina matriz de n filas y m columnas a un conjunto de n×melementos de X, dispuestos en un arreglo rectangular de n filas y m columnas. Las características de los elementos del conjunto X dependerán, en cada caso, de la naturaleza del problema que se esté estudiando. X puede ser un conjunto de funciones, de palabras de un alfabeto, de números, etc. De aquí en adelante, salvo que se especifique lo contrario, los elementos del conjunto X serán números reales ydenotaremos el conjunto de todas las matrices de orden n×m (n filas y m columnas) por M n×m . En general, para representar una matriz A de orden n×m se escribe

 a11   a 21 A=   a  n1
También se escribe A=( a ij ) ( i n×m que tiene elementos

a12 a 22 an2

a1m   a2m    a nm  

= 1,..., n y j = 1,..., m) para indicar que A es la matriz de orden

a ij . Las matrices sedenotan con letras mayúsculas y sus elementos

con la misma letra minúscula acompañada de dos subíndices que indican su posición en la matriz; el primer subíndice indica la fila y el segundo la columna. Es decir, el elemento a ij es aquel que se encuentra en la fila

i y la columna j de la matriz A. Por ejemplo, si denotamos por

M la matriz inicial, entonces el orden de M es 2×3 (2 filas y 3columnas) y sus elementos son: m11 = 8, m12 = −1, , m13 = 0, m 21 = 5, m 22 = 0.5 y m 23 = 3.

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Álgebra de matrices
Dos matrices A=( a ij ) y B=( bij ), de orden n×m, son iguales si en ambas matrices coinciden.

a ij = bij para todo i = 1,..., n y

j = 1,..., m. Es decir, dos matrices son...