ciencias
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Publicado: 27 de marzo de 2013
Basándose en la proposición I.412 de Los Elementos, que equivale a decir que a igual base y altura, el área del paralelogramo dobla a la del triángulo, (véase Figura Euclides 1).
Se tiene el triángulo ABC, rectángulo en C (véase Figura Euclides 3), y se construye los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se traza cuatro triángulos,iguales dos a dos:
Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo AD=AC, y AK=AB, necesariamente BD=CK. Sus tres lados son iguales.
Triángulos ABG y CBI: análogamente, AB=BI, y BG=BC, así que AG=CI. Sus tres lados son asimismo iguales.
Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ACK en ABD. Y un giro con centro en B, y sentidotambién positivo, transforma ABG en CBI. En la demostración de Leonardo da Vinci se encontrará nuevamente con giros que demuestran la igualdad de figuras.
Véase (en la Figura Euclides 3) que:
1.Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el rectángulo AHJK, los cuales tienen la misma base, AK. Por tanto de acuerdo con la proposición I.412 de Los Elementos, AHJK tiene doble área que ACK,(véase Figura Euclides 1).
2.Las paralelas m y n contienen a ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble de la de ABD.
Pero siendo ACK=ABD, resulta que el rectángulo AHJK y el cuadrado ADEC tienen áreas equivalentes. Haciendosé razonamientos similares con los triángulos ABG y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, se concluye que éstosúltimos tienen asimismo áreas iguales. A partir de lo anterior, surge de inmediato que: "la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa".
[editar] Demostración de Pappus
La proposición I.363 de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidosentre las mismas paralelas.
La demostración de Pappus parece ser unas musicales variaciones sobre un mismo tema, respecto a la de Euclides.
Unos 625 años después que Euclides, Pappus6 parece seguir su senda, y desarrolla una demostración del teorema de Pitágoras basada en la proposicón I.363 de Los Elementos de Euclides:
Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas,tienen superficies equivalentes.
Partimos del triángulo ABC rectángulo en C, sobre cuyos catetos e hipotenusa hemos construido los cuadrados correspondientes.
Prolongando CH hacia arriba se obtiene el rectángulo CEGI cuya diagonal CG determina en aquél dos triángulos rectángulos iguales al triángulo ABC dado:
Los ángulos agudos GCI y ABC tienen sus lados perpendiculares
El lado CI es igual allado CB
En consecuencia los triángulos rectángulos ABC, ICG y EGC tienen sus tres lados iguales.
1.Los paralelogramos ACGF y AHMN tienen la misma base CG=HM, y están comprendidos entre las mismas paralelas, r y s. Por lo tanto tienen la misma superficie (Elementos I.36)
2.Aplicando el mismo principio a ACGF y ACED –base común AC, y paralelas m y n- resulta que ambos paralelogramos tienensuperficies asimismo equivalentes.
De 1) y 2) se sigue que las superficies de ACED y AHMN son iguales.
Análogamente:
1.CGJB y BLMH tienen la misma base CG=MH, y están comprendidos entre las paralelas s y t. Sus superficies son equivalentes.
2.CGJB y CIKB tienen base común CB, y están entre las paralelas o y p. Sus superficies son iguales.
De dónde se deduce la equivalencia de las superficiesde BLMH y de CIKB.
El teorema de Pitágoras queda demostrado.
[editar] Demostración de Bhaskara
Bhaskara desarrolla una demostración gráfica y algebraica del teorema de Pitágoras.
Bhaskara II, el matemático y astrónomo hindú del siglo XII, nos da la siguiente demostración del teorema de Pitágoras.
Con cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se construye el cuadrado...
Se tiene el triángulo ABC, rectángulo en C (véase Figura Euclides 3), y se construye los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se traza cuatro triángulos,iguales dos a dos:
Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo AD=AC, y AK=AB, necesariamente BD=CK. Sus tres lados son iguales.
Triángulos ABG y CBI: análogamente, AB=BI, y BG=BC, así que AG=CI. Sus tres lados son asimismo iguales.
Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ACK en ABD. Y un giro con centro en B, y sentidotambién positivo, transforma ABG en CBI. En la demostración de Leonardo da Vinci se encontrará nuevamente con giros que demuestran la igualdad de figuras.
Véase (en la Figura Euclides 3) que:
1.Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el rectángulo AHJK, los cuales tienen la misma base, AK. Por tanto de acuerdo con la proposición I.412 de Los Elementos, AHJK tiene doble área que ACK,(véase Figura Euclides 1).
2.Las paralelas m y n contienen a ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble de la de ABD.
Pero siendo ACK=ABD, resulta que el rectángulo AHJK y el cuadrado ADEC tienen áreas equivalentes. Haciendosé razonamientos similares con los triángulos ABG y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, se concluye que éstosúltimos tienen asimismo áreas iguales. A partir de lo anterior, surge de inmediato que: "la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa".
[editar] Demostración de Pappus
La proposición I.363 de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidosentre las mismas paralelas.
La demostración de Pappus parece ser unas musicales variaciones sobre un mismo tema, respecto a la de Euclides.
Unos 625 años después que Euclides, Pappus6 parece seguir su senda, y desarrolla una demostración del teorema de Pitágoras basada en la proposicón I.363 de Los Elementos de Euclides:
Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas,tienen superficies equivalentes.
Partimos del triángulo ABC rectángulo en C, sobre cuyos catetos e hipotenusa hemos construido los cuadrados correspondientes.
Prolongando CH hacia arriba se obtiene el rectángulo CEGI cuya diagonal CG determina en aquél dos triángulos rectángulos iguales al triángulo ABC dado:
Los ángulos agudos GCI y ABC tienen sus lados perpendiculares
El lado CI es igual allado CB
En consecuencia los triángulos rectángulos ABC, ICG y EGC tienen sus tres lados iguales.
1.Los paralelogramos ACGF y AHMN tienen la misma base CG=HM, y están comprendidos entre las mismas paralelas, r y s. Por lo tanto tienen la misma superficie (Elementos I.36)
2.Aplicando el mismo principio a ACGF y ACED –base común AC, y paralelas m y n- resulta que ambos paralelogramos tienensuperficies asimismo equivalentes.
De 1) y 2) se sigue que las superficies de ACED y AHMN son iguales.
Análogamente:
1.CGJB y BLMH tienen la misma base CG=MH, y están comprendidos entre las paralelas s y t. Sus superficies son equivalentes.
2.CGJB y CIKB tienen base común CB, y están entre las paralelas o y p. Sus superficies son iguales.
De dónde se deduce la equivalencia de las superficiesde BLMH y de CIKB.
El teorema de Pitágoras queda demostrado.
[editar] Demostración de Bhaskara
Bhaskara desarrolla una demostración gráfica y algebraica del teorema de Pitágoras.
Bhaskara II, el matemático y astrónomo hindú del siglo XII, nos da la siguiente demostración del teorema de Pitágoras.
Con cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se construye el cuadrado...
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