ciencias

Capítulo 10. Teoría de pertubaciones
10.1. Desarrollo perturbativo
10.1.1. Valores propios
10.1.2. Normalización
10.1.3. Desarrollo de las correcciones en la base del hamiltoniano de
referencia
10.2. Estados no degenerados
10.2.1. Ejemplo: Oscilador armónico en un campo de fuerza constante
10.2.2. Ejemplo: Efecto Zeeman (átomo hidrogenoide en un campo
magnético)
10.2.3. Ejemplo:Interacción de un dipólo magnético con un campo

(

uniforme B = Bk

)

10.2.4. Ejemplo: Oscilador armónico con una perturbación cúbica
10.3. Estados degenerados
10.3.1. Ejemplo. Efecto Zeeman en los orbitales p
10.3.2. Ejemplo. Acoplamiento espín-órbita en un átomo
hidrogenoide
10.4. Teoría de perturbaciones dependiente del tiempo
10.4.1. Tratamiento perturbativo
10.4.2. Ejemplo:perturbación armónica
10.4.3. Absorción de radiación electromagnética
10.4.4. Sistema con un potencial central

10. Teoría de pertubaciones
La teoría de perturbaciones permite obtener aproximaciones de los valores y
funciones propios de un sistema tomando como punto de partida a un sistema
referencia, que preferentemente debe tener alguna semejanza con el sistema que se
desea estudiar. Estemétodo de aproximación se usa ampliamente en diversas ramas de
las matemáticas aplicadas para encontrar soluciones aproximadas de mucho tipos de
ecuaciones, incluyendo tanto a las algebráicas, como a las integrodiferenciales.

10.1. Desarrollo perturbativo
La elección del sistema de referencia no es única, sin embargo en necesario que su
soluciones sean adsequibles y que sea lo más parecidoposible al sistema real. Cuando
esto ocurre la diferencia entre el hamiltoniano de referencia y el real será pequeña, y se
espera que sus soluciones no sean muy diferentes. De tal forma que esa diferencia
pueda considerarse como una pequeña perturbación sobre el sistema de referencia.
Sean H 0 un hamiltoniano con solución conocida,

H 0 m = Em m ,
y H 0 + H ′ el hamiltoniano del sistema deinterés. Adicionalmente, se considera un
hamiltoniano de trabajo o auxiliar, que depende de un parámetro λ ,

H λ ≡ H 0 + λH ′ .
Las soluciones del hamiltoniano auxiliar,

H λ Ψm = Wm Ψm ,
también dependen de λ . Por lo tanto, Ψm y Wm pueden desarrollarse en series de
potencias de λ ,

Ψm =

∞
j =0

10-2

λ j Φ (mj ) ,

Wm =

∞
j =0

λ j ω (mj ) .

Este hamiltoniano auxiliarestablece una conexión entre el sistema de referencia ( λ = 0 )
y el sistema real ( λ = 1 ) y para obtener una estimación de las propiedades del sistema
real es necesario evaluar las sumas perturbativas en λ = 1 . Por esta razón, el primer
objetivo de la teoría de perturbaciones consiste en obtener expresiones que permitan
y ω (m ) .

calcular a todos los coeficientes de ambos desarrollos, Φ(m )
j

j

Las series de potencias deben satisfacer la ecuación de valores propios del
hamiltoniano auxiliar, así que es necesario sustituir dichas expresiones en ambos lados
de la ecuación de valores propios. Para el lado izquierdo se tiene que

H λ Ψm =

∞

λ j H Φ (mj ) +

j=0

∞

λ j +1 H ′ Φ (mj ) .

j =0

Las sumas se reagrupan con un cambio de índices, l = j + 1 . Así,H λ Ψm =

∞

λ j H Φ (mj ) +

∞

l
λl H ′ Φ (m−1)

l =1

j=0

(0)

= H0 Φ m

∞

+

{

( j)

( j −1)

λ H0 Φ m + H ′ Φ m
j

j =1

}

.

De forma similar,

Wm Ψm =

∞

∞

λl + k ω (mk ) Φ lm =

l =0 k =0

(0)

∞
j=0

(0)

= ω m Φm

+

∞
j =1

λ

j
j

( j −l )

ωm

j

λj

l
ω (mj −l ) Φ (m)

l=0

,

( l)

Φml =0

en donde se han agrupado todos los términos de la suma doble usando el cambio de
variable j = l + k .
Al igualar ambos polinomios, se tiene una igualdad de coeficientes para cada
potencia de λ ,

λ0 :

λj :

0
0
0
H 0 Φ (m ) = ω (m ) Φ (m )

( j)

H0 Φ m

( j −1)

+ H′ Φm

=

j

ω (mj −l ) Φ (ml) ,

j > 0.

l =0

10-3

La ecuación para el orden cero (...