ciencias

Instituto de Física

Universidad de Antioquia

Incertidumbres y Gráficas
Péndulo Simple
Objetivos
1. Hacer propagación de incertidumbres de diversas cantidades.
2. Determinar por medio de gráficas la relación entre el periodo de un péndulo
simple con la gravedad y la longitud del mismo.

Equipo:
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Péndulo simple
Regla de un metro
Balanza
Sistema LabGICMMedidor de ángulos
Nonio
Computador

Marco teórico
Propagación de incertidumbres
En la mayoría de los casos las magnitudes medidas directamente no son el
objetivo final de un experimento, sino un paso necesario para obtener otras
magnitudes relacionadas con ellas mediante alguna dependencia funcional.
En este caso, es necesario conocer la forma en que el grado de incertidumbre se
refleja en elresultado final de las mediciones, es decir cómo se propagan las
incertidumbres individuales de cada medición en el resultado final de la medición.
Si se supone que una magnitud f depende de x, el cálculo del error ∆f a partir del
error directo ∆x se denomina propagación de error. Si el error relativo es pequeño
podemos hacer uso de la siguiente aproximación:

f ( x  x)  f ( x ) 

fx  f  f
x

Supongamos ahora que una magnitud z depende de las magnitudes observadas
(x, y), con x  x  x y y  y  y , tendremos que z  z  z con

Por Lucelly Reyes H

z  f ( x, y)
y
z 

z
z
x 
y
x
y

Donde z es la derivada parcial de z con respecto a x evaluada en x  x siempre
x

y cuando la variable y se mantenga constante.
Ejemplo, si se quieremedir el volumen de un cilindro y se sabe que su radio es r =
6,0cm y su altura h = 10,0cm, es bien sabido que su volumen viene dado por V =
πhr2 =1131 cm2. Pero, si la magnitud h tiene un error de ∆h=0,1cm y r tienen un
error de ∆r=0,1cm, ¿cuál es el error que se comete en el cálculo del volumen?
El valor de ∆V se obtiene de la ecuación:

V
V
r 
h
r
h
Que requiere calcular lasderivadas parciales.
V 

V
 2hr  377cm 2
r
V
 r 2  113cm 2
h
Y por tanto, el error en el volumen es:
V  (377 x0.1  113x0.1)cm 3  49cm 3
Por consiguiente, se tiene que:

V  (1130  50)cm 3
Y en notación científica será:

V  (1.13  0.05) x103 cm 3
Algunos casos prácticos, suponiendo que la función z depende de otras dos
magnitudes q1 y q2, son los siguientes:Ejemplo: supongamos que tenemos las mediciones directas de velocidad y masa
de un cuerpo:
v = 12.5 cm/s  0.1 cm/s
m = 53.3 g  0.1 g
2

y queremos calcular la cantidad de movimiento p mediante la relación de vínculo
p=mv
Para calcular la incertidumbre asociada al valor calculado m v = 666 g cm/s
debemos calcular
p
p
p
v
m
v
m
donde

p
m
v

y

p
v
mentonces
∆p = m ∆v + v ∆m = 6.58 g cm/s
Siguiendo las reglas anteriores para la presentación de resultados, el valor de la
cantidad de movimiento será:
p = 666 g cm/s  7 g cm/s
Nótese que el producto de la masa por la velocidad según los datos presentados
es 666.25 pero fue redondeado a 666 para ser coherente con su incertidumbre.

Ejemplo: Medida indirecta de la densidad de una esfera de radior donde se
mede el radio y se pesa la esfera.
La densidad se define como masa sobre volumen:

Para la esfera, el volumen es

así que la densidad se expresa en función de radio y masa como

La ley de propagación de los errores establece que

3

Con base en esto, podemos calcular el error relativo

de la densidad:

Adición y sustracción
En general, sea A y B dos medidas y ∆A y ∆Bsus respectivos errores.
La suma de estas medidas es:
S  A B
Si consideramos sus respectivos errores habría que plantear:
1. S  S  ( A  A)  ( B  B)  ( A  B)  (A  B)
de tal modo que S , es la suma de los errores: S  A  B . Esta regla es
válida para más de dos sumandos.
Sea R  A  B donde A y B tienen los errores ∆A y ∆B, respectivamente.
Teniendo en cuenta esto se...