ciencias

Tema III. Cap´
ıtulo 4. Producto vectorial y producto mixto.

´
Algebra. Departamento de M´todos Matem´ticos y de Representaci´n. UDC.
e
a
o

4. Producto vectorial y producto mixto.

y|MBB | > 0.
Por tanto:

En este cap´
ıtulo trabajaremos en un espacio eucl´
ıdeo U de dimensi´n
o
3.

e1
¯
|GB | x1
y1

e2
¯
x2
y2

e3
¯
x3
y3

e1 e2 e3
¯
¯
¯
| x1 x2 x3 =
By1 y2 y3
e1 e2 e3
¯
¯
¯
||MB B | x 1 x 2 x 3 =
y1 y2 y3
e2 e3
¯
¯
x2 x3 .
y2 y3

1.1

Producto vectorial.

|MBB GB MBB t ||MB

=

1

=

|GB ||MBB

Definici´n.
o
=Definici´n 1.1 Sea x, y dos vectores en U y supongamos que fijamos una base de
o
¯ ¯
referencia B = {¯1 , e2 , e3 }. Definimos el producto vectorial de x, y como el vector
e ¯ ¯
¯ ¯
x ∧ y verificando:
¯¯

|GB

Como consecuencia de esto, es suficiente verificar la f´rmula en una base cualquiera.
o
Comprobemos que dicha f´rmula cumple la definici´n de producto vectorial. Sea:
o
o

1. Si x, y sondependientes, entonces x ∧ y = ¯
¯ ¯
¯ ¯ 0.

e1
¯
|GB | x1
y1

2. Si x, y son independientes, verifica:
¯ ¯
z=
¯

(a) x ∧ y es perpendicular a x e y .
¯ ¯
¯ ¯
(b)

x∧y = x
¯ ¯
¯y |sen(¯, y )|.
¯
x ¯

La definici´n es coherente porque dados dos vectores independientes x, y en un
o
¯ ¯
espacio eucl´
ıdeo 3-dimensional, el espacio de vectores perpendiculares a ambostiene
dimensi´n 1. Por tanto hay un unico vector en este subespacio si fijamos su norma
o
´
y su sentido.

B = {¯1 , u2 , u3 }
u ¯ ¯

GB =

Supongamos que fijamos una base B = {¯1 , e2 , e3 }.Consideramos su base rec´
e ¯ ¯
ıproca
B ∗ = {¯1 , e2 , e3 }. Entonces:
e ¯ ¯

Y:
z=
¯

Teorema 1.2 Si conocemos las coordenadas contravariantes de x, y , las coordenadas
¯ ¯
covariantesdel producto vectorial se obtienen como:
e
¯
|GB | x1
y1

x∧y =
¯ ¯

2

e
¯
x2
y2

e
¯
x3
y3

Prueba: Veamos primero que esta f´rmula se comporta bien con el cambio de
o...