ciencias

UNIVERSIDAD DE TALCA.
´
INSTITUTO DE MATEMATICA Y F´
ISICA.

Gu´ 2: Estimaci´n puntual.
ıa
o
Ingenier´ Comercial.
ıa
Profesor: Alex Soto.
Ayudante: Rub´n Leiva.
e

EjerciciosPropuestos.
1. Sea X1 , ..., Xn una muestra aleatoria X∼ N(µ,σ 2 ), θ = (µ, σ 2 ) y considere los Estimadores de µ y σ 2 . Determine el ECM para ambos.
Los estimadores son:
µ=x
ˆ ¯
n
(x −¯)2
x
i=1 iσ2 =
ˆ

n

=

(n−1)S 2
.
n

2. Sea X1 , ..., Xn una muestra aleatoria de una poblaci´n de media µ y varianza σ 2 . Cono
sidere los siguientes estimadores de µ:
µ1 = X1 +
ˆ n

n−1
i=21 1
2 (n−2)

µ2 = n
ˆ 1

n
i=1

Xi +

Xn
4

Xi

a) Demostrar que los dos estimadores son insesgados.
b) Calcular el ECM de ambos estimadores.
3. Suponga que una variable aleatoriaX tiene la siguiente funci´n de probabilidad, donde
o
p es un par´metro desconocido:
a
P (X = xi ) = pxi (1 − p)1−xi
Se propone p=
ˆ

xi
n

¿Es consistente el estimador del par´metro p?
a4. El n´mero de veh´
u
ıculos que circula por la intersecci´n de las calles A y B es una variable
o
aleatoria de Poisson con par´metro α. Para estimar α a trav´s de una muestra aleatoria
a
ede tama˜o 5 se sugieren los siguientes estimadores:
n
3X1 +2X5
,
5
2X1 +3X2
α2 =
ˆ
,
5
X1 +X2 +X3 +X4 +X5
α3 =
ˆ
5

α1 =
ˆ

1

¿Cu´l de los tres estimadores propuestos es mejor?a
5. Sea X1 , ..., Xn una muestra aleatoria de tama˜o n (n > 2), desde una distribuci´n con
n
o
funci´n de densidad dada por:
o
f (x) =
ˆ
ˆ
Sean λ1 = X7 y λ2 =

1 −x
eλ
λ

0

si x >0(λ > 0)
e.o.c.

(1)

X1 +X6
2

a) Determine el estimador insesgado de menor varianza.
b) Encuentre el Estimador M´ximo Verosimil de λ y estudie la consistecia del estia
mador.
6. Sea X ∼Erlang(r,λ) (distribuci´n para variables aleatorias del tipo discreta), donde
o
θ=(r,λ). Sea, adem´s, X1 , ... , Xn una muestra aleatoria. Obtenga el estimador por
a
momentos de r y λ.
7. Sea...