ciencias

FORMULARIO DE DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD

Jorge M. Galbiati

p´ag.
DISTRIBUCION BINOMIAL

2

DISTRIBUCION POISSON

4

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

5

DISTRIBUCION GEOMETRICA

7

DISTRIBUCION NORMAL

8

DISTRIBUCION JI-CUADRADO

11

DISTRIBUCION T DE STUDENT

13

DISTRIBUCION F DE SNEDECOR

15

DISTRIBUCION UNIFORME

17

DISTRIBUCION EXPONENCIAL

18DISTRIBUCION GAMA

20

DISTRIBUCION BETA

23

TRANSFORMACION DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

25

1

DISTRIBUCION BINOMIAL
Funci´
on de probabilidad:
p(x) =

n!
px (1 − p)n−x
x!(n − x)!

Espacio param´
etrico:
Valor esperado:
Varianza:

n ∈ {1, 2, 3, ...}

si x = 0, 1, 2, ..., n

p ∈ (0, 1)

np

np(1 − p)
(1 − p + p et )n

Funci´
on generadora demomentos:

F(x)

p(y)

0

n

x

y

APROXIMACION NORMAL DE LA BINOMIAL
Si una variable aleatoria X tiene distribuci´on binomial con par´ametros n y p,
entonces si n es grande y si p no es ni muy cercano a cero ni muy cercano a 1, la
X−np
variable aleatoria Z = √(np(1−p))
tiene distribuci´on aproximada normal es’tandar.
En la pr´actica, si n es grande y p no es ni muy peque˜
no nimuy grande, si se requiere
la probabilidad acumulada F (x) con F distribuci´on binomial, se puede obtener su
valor aproximado buscando en la tabla normal
x − 0,5 − np
FN √
(np(1 − p)
andar. Se puede utilizar, como criterio, las
en que FN es la distribuci´on normal est´
condiciones simult´aneas n > 30 , np > 5 y n(1 − p) > 5.

2

APROXIMACION POISSON DE LA BINOMIAL.
Si una variablealeatoria X tiene distribuci´on binomial con par´ametros n y p, entonces si n es grande, y p muy cercano a cero, la variable aleatoria X tiene distribuci´on aproximada poisson con par´ametro λ = np.
En la pr´actica, si n es grande y p cercano a cero, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) con F distribuci´on binomial, se puede obtener su valor aproximado
buscando en la tabla poisson
xFP (x) =
y=0

e−λ (λ)y
y!

en que FP es la distribuci´on poisson con par´ametro λ = np. Se puede utilizar, como
criterio, las condiciones simult´aneas n > 30 y np ≤ 5.

3

DISTRIBUCION POISSON
Funci´
on de probabilidad:
e−λ λx
p(x) =
x!

si x = 0, 1, 2, ...

Espacio param´
etrico:
λ ∈ (0, +∞)
Valor esperado:
λ
Varianza:
λ
Funci´
on generadora de momentos:

e[λ(e −1)]t

F(x)

p(y)

0

x

y

APROXIMACION NORMAL DE LA POISSON.
Si una variable aleatoria X tiene distribuci´on Poisson con par´ametro λ , entonces
√
tiene distribuci´on aproximada normal
si λ es grande, la variable aleatoria Z = X−λ
λ
est´
andar.
En la pr´actica, si λ es grande, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) con F
distribuci´on Poisson, se puede obtener su valoraproximado buscando en la tabla
normal
x−λ
FN √
(λ
andar. Se puede utilizar, como criterio, la
en que FN es la distribuci´on normal est´
condici´on λ > 36 .

4

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
Funci´
on de probabilidad:
p(x) =

k!
n!(n−k)!

(N −k)!
(n−x)!(N −k−n+x)!
N!
n!(N −n)!

×

si x = a, a + 1, a + 2, ..., b

en que a = max(0; n + k − N) y b = min(k, n). x es el n´umero de ´exitos en la
muestra.
Espacio param´
etrico:
N,k y n enteros positivos, tales que k < N, n < N y
n < N − k.
N es el tama˜
no de la poblaci´on.
k es el n´
umero de ´exitos en la poblaci´on.
n es el tama˜
no de la muestra.
nk
N

Valor esperado:
Varianza:

nk
(1
N

−

k
−n
) N
N
N −1

Funci´
on generadora de momentos:
(N − n)!(N − k)!
H(−n; −k; N − k − n +1; et )
N!
donde H(p, q, r, z) = 1 +

pq z
r 1!

+

p(p+1)q(q+1) z 2
r(r+1)
2!

+

p(p+1)(p+2)q(q+1)(q+2) z 3
r(r+1)(r+2)
3!

(funci´on hipergeom´etrica)
F(x)

p(y)

a

b

x

5

y

APROXIMACION BINOMIAL DE LA HIPERGEOMETRICA
Si una variable aleatoria X tiene distribuci´on hipergeom´
etrica con par´ametros
k
N, k y n, entonces si N es grande y si N no es ni...