Cilindros pared gruesa

ANEXO B- Tensiones en un cilindro debidas a presión hidráulica

ANEXO B
Tensiones en un cilindro debidas a la presión hidráulica.
B.1

Tensiones en un anillo circular y en un cilindro de pared gruesa

Si se somete un anillo circular delgado a la acción de fuerzas radiales
uniformemente distribuidas por su circunferencia, se producirán fuerzas anulares
a lo largo de su espesor queactuarán tangencialmente. Si las fuerzas que
actúan son radiales hacia fuera se producirá un engrandecimiento uniforme del
anillo, mientras que si son radiales hacia dentro se producirá una contracción
uniforme.
La magnitud de la fuerza F sobre el anillo puede hallarse cortando el anillo por
una sección diametral horizontal, obteniendo el cuerpo mostrado en la Fig. B.1.

Fig. B.1 Tensionesradiales y anulares en un anillo delgado
Si la fuerza por unidad de longitud de circunferencia es q, y el radio del anillo es
r, la fuerza que actúa en un elemento del anillo es qrdφ.
Sumando las componentes verticales de todas las fuerzas que actúan sobre el
anillo semicircular obtenemos la ecuación de equilibrio.

2F = 2∫

π /2

qr sin φ dφ = 2qr

(B.1)

F = qr

0

(B.2)

La tensiónunitaria en el anillo puede obtenerse dividiendo la fuerza F por el área

A de la sección recta del anillo.

σ2 =

qr
A

Laboratori de Sistemes Oleohidràulics y Pneumàtics LABSON - UPC

(B.3)

181

ANEXO B- Tensiones en un cilindro debidas a presión hidráulica

Si se considera que el anillo es una sección de longitud unidad constante de un
recipiente cilíndrico de espesor hsujeto a una presión interna p, tendremos que
en la ecuación (B.3) q=p y A=h, y que la tensión anular en el recipiente cilíndrico
es

σ2 =

pr
h

(B.4)

La tensión longitudinal puede calcularse igualando la presión total ejercida contra
el extremo del cilindro con las fuerzas longitudinales que actúan en una sección
transversal del cilindro, como se indica en la Fig. B.2.

σ 1h2π r =pπ r 2 → σ 1 =

pr
2h

(B.5)

Fig. B.2 Tensión longitudinal en un cilindro
B.2

Módulo de Poisson

Si una barra se somete a tracción pura, ésta no sólo se estira en la dirección
axial sino que se produce una contracción lateral al mismo tiempo. Se ha
observado que, para un material dado, el radio entre la contracción lateral
unitaria y la elongación axial unitaria es constante dentrodel límite elástico.
Esta constante se llama módulo de Poisson y se denota por µ. Su valor típico
para materiales isotrópicos como los aceros para recipientes a presión es 0,3.
El mismo fenómeno aparece en el caso de compresión. La compresión axial
viene acompañada por una expansión lateral, utilizándose el mismo valor de µ
para calcularlas. En un bloque de material rectangular sometido atensiones de
tracción en dos direcciones perpendiculares (Fig. B.3), la elongación en una
dirección no sólo depende de la tensión en esa dirección sino también de la
tensión en la dirección perpendicular.

Laboratori de Sistemes Oleohidràulics y Pneumàtics LABSON - UPC

182

ANEXO B- Tensiones en un cilindro debidas a presión hidráulica

Fig. B.3 Deformación debida a dos tensionesprincipales

La elongación unitaria o alargamiento en la dirección del esfuerzo de tracción σ1
es σ1/E (ley de Hooke). Al mismo tiempo, la tensión de tracción σ2 produce una
contracción lateral en la dirección de σ1 de valor

µ σ2
E

. Por lo tanto, la elongación

en la dirección de σ1 será

e1 =

σ1
E

−µ

σ2

−µ

σ1

(B.6)

E

Análogamente, en la dirección de σ2

e2 =σ2
E

(B.7)

E

Si una o ambas tensiones son de compresión en lugar de tracción, al determinar
los alargamientos en las ecuaciones (B.6) y (B.7) sólo será necesario
considerarlas negativas.
Similarmente, cuando actúan tres tensiones de tracción σ1, σ2, σ3, sobre un cubo
de material isotrópico, la elongación en la dirección de σ1 es
e1 =

σ1
E

−µ

σ2
E

−µ

σ3
E...