CIM Tema 1 01 Lenguaje y objetos matemaicos

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Curso Intensivo de Matemáticas Universidad de Alcalá de Henares (7−07−09)

TEMA 1. Lenguaje matemático; objetos matemáticos…
Lenguaje matemático
Para aprender Matemáticas hace falta conocer su idioma, sus palabras clave, los objetos que se
utilizan, las herramientas necesarias para manejar esos objetos, …
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El idioma que utiliza es formal y abstracto. Mezcla palabras, números,símbolos, figuras y
conceptos que tienen un “significado matemático”, que no siempre coincide con el significado en
el lenguaje normal, castellano o de cualquier otro idioma.
La Matemática es una ciencia lógica y deductiva. La deducción lógica exige cumplir unas reglas
muy precisas: “si no se cumplen, no funciona”. (Ejemplo de móviles y ordenadores.)
Parte de unos principios (axiomas); de unasdefiniciones y conceptos; de unos objetos (números,
símbolos, operadores…); de unas “reglas de juego” (propiedades); …
Las reglas de juego hay que aprenderlas, memorizarlas y usarlas. (Esto significa que hay que
estudiarlas.)
Las herramientas que se utilizan son los conceptos, las operaciones, las propiedades…
Utilizando esas herramientas se genera un método, una teoría.
Los resultados deben serdemostrados; no basta con una simple comprobación. Una vez
demostrados pueden aplicarse como un molde.

Qué estudia la matemática
Sin entrar en detalle, puede decirse que la matemática estudia la cantidad (números; álgebra), la
extensión (la figura, la forma, ángulos; geometría); el cambio, la variación de magnitudes (el límite;
análisis); grandes conjuntos de datos (estadística).
Pero lo realmenteimportante de la matemática es su método (lógico, deductivo, constructivo,
seguro y universal), que hace que pueda aplicarse en prácticamente todas las otras ciencias, como
herramienta de cálculo y de visualización, como sistema de organización del conocimiento teórico
(proporcionando modelos matemáticos), como “garantía” de certeza…
Ejemplo 1:
En la siguiente figura se muestra un fenómeno casiperiódico (real). Se trata de la relación entre dos
poblaciones silvestres del Canadá, una de ellas un depredador (el lince), la otra, su presa (la liebre).

A la derecha se da un modelo teórico, donde cada una de las poblaciones ha sido ajustada a las
funciones f ( x) = 60 + 50 sin(0,6 x + 1,2) , liebres; y g ( x) = 40 + 35 sin(0,6 x) , linces. Es evidente que
ese modelo teórico no es bueno. Suaplicación podría generar grandes errores.
(La idea de este ejemplo está tomada del libro de 1º de Bachillerato para CC SS de McGraw−Hill, 2007.)

José María Martínez Mediano

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Curso Intensivo de Matemáticas Universidad de Alcalá de Henares (7−07−09)

Ejemplo 2:
En la tabla siguiente se muestra la población española a lo lago del siglo XX.
Año
Población en miles

1900
18616

1910
19990

1920
213881930
23877

1940
26014

1950
28117

1960
30582

1970
33956

1980
37742

1990
39433

2000
40450

Se observa que:
(Población 1910) : (Población 1900) = 19990 : 18616 = 1,0738
(Población 1920) : (Población 1910) = 21388 : 19990 = 1,0699
(Población 1930) : (Población 1920) = 23677 : 21388 = 1,1070
(Población 1940) : (Población 1930) = 26014 : 23677 = 1,0987
Es decir, los cocientes de P(t ) paravalores igualmente espaciados (10 años) son parecidos, con una
media de 1,087. Así pues, sabiendo que la población en 1900 era de 18616 (miles), podemos
estimar la población en las décadas siguientes.
Si llamamos t al número de décadas transcurridas desde 1900, podemos trabajar así:
En 1910, t = 1: P(1) ≈ P(0) ⋅ 1,087 = 18616·1,087 = 20236
En 1920, t = 2: P(2) ≈ P (1)·10,87 = P(0) ⋅ 1,087 2 =18616·1,087 2 = 21996
En 1960, t = 6: P(6) ≈ P(0) ⋅ 1,087 6 = 18616·1,087 6 = 30709 .
Y, por último, en 1990, t = 9: P(9) ≈ 18616·1,087 9 = 39441 , resultado de notable precisión.
En general: P(t ) = 18616 ⋅ 1,087t , que una función exponencial.
El diagrama de barras es el correspondiente a los datos de la tabla.
La línea roja de la figura de la derecha corresponde a los mismos datos. La línea negra es...