cinemática de una particula

Capitulo 1: Cinemática de una partícula:
1.1. Generalidades
A. DEFINICIONES
-

Cinemática: Estudio de la geometría del movimiento. Relaciona el desplazamiento
(variación de la posición), la velocidad (variación de la posición con el tiempo) y la
aceleración (variación de la velocidad con tiempo) sin hacer referencia a la causa del
movimiento

-

Partícula: Un punto que se mueve comoun todo sin que se refiera al tamaño. Se
desprecia cualquier rotación con respecto a su propio centro de gravedad, sólo posee
masa (se trata lo mismo un grano de arena que un elefante).

B. REVISIÓN DE VECTORES
Se usan vectores para describir el movimiento de una partícula. Un vector es la expresión
matemática de movimiento y tiene magnitud, dirección y sentido. Se denota como una
flechacuya longitud refleja la magnitud, su orientación la dirección y su cabeza el sentido
del movimiento (Figura 1). Se usa para representar desplazamientos, velocidad,
aceleración, momentos y las fuerzas.

sentido

longitud

dirección
Figura 1: Un vector y sus componentes
r r
r
La sumatoria de dos vectores P + Q , se define como el vector resultante R , el cual tiene
r r
r
dos componentes( P y Q ). Para encontrar la sumatoria se traza el primer vector P y
r
r
donde se termina, se empieza trazar el vector Q (ver Figura 2). La suma ( R ) está dada
por un vector que conecta el principio del primero con el final del segundo.

r
R

r r r
P+Q =R

r
Q

r
P
Figura 2: La sumatoria de vectores

r r
El producto escalar (por que da por resultado un escalar) de dosvectores P ⋅ Q (el
r r
P ⋅ Q = PQcosθ (ver Figura 3). θ es el ángulo que
producto punto), se define como:
forma los dos vectores.
r
P
θ
r
Q

Dinámica: Apuntes 1.1

Figura 3: El producto de dos vectores

El producto que se ve más a menudo en este curso es el producto vectorial de dos
r r
vectores PxQ (el producto cruz) se define como un vector que tiene la magnitud de
r r
PQsenθ yactúa en una dirección perpendicular al plano que contiene P y Q ver Figura 4.
r r
P×Q

r r
P x Q = PQ senθ

r
Q

θ
r
P
Figura 4: Producto vectorial de dos vectores
Se suele definir la dirección de un vector por vectores unitarios ˆ, ˆ y k que apuntan
i j ˆ
respectivamente en la dirección de los ejes x,y,z (ver Figura 5). Tienen una magnitud
unitaria constante y direcciones fijas.

Yejes fijos
ˆ
j

ˆ
i

ˆ
k

X

vectores unitarios

Z

Figura 5: Vectores unitarios

r r
ˆ
Un vector es el producto de su magnitud y su dirección: A = A A (ver Figura 6)

r
A
θ

(Asenθ) ˆ
j

(

r
A = A cos ˆ + senθ ˆ
i
j

)

(Acosθ)ˆ
i
Figura 6: Un vector

2

Dinámica: Apuntes 1.1
C. REVISIÓN DE LOS CONCEPTOS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

r

Velocidad( v ): Cambio en posición con el tiempo
Una partícula describe una trayectoria cualquiera con respecto a un sistema de referencia
x,y,z con un origen O (Figura 7)

r
Δr

P1

r
r2

x
O

trayectoria de
la partícula

P2

r
r1

P1 – posición inicial (tiempo = t1)
P2 – posición final (tiempo = t2)
r
r1 – vector posición de la posición P1

y

z

r
r2 – vector posiciónde la posición P2
r
Δ r - vector cambio de posición o

desplazamiento
Figura 7: La posición de una partícula

r
r r
r1 + Δ r = r2

r r
r
r2 - r1 = Δ r

→

En el limite:

Velocidad instantánea:

→

r
r Δr
Velocidad promedio: v =
Δt
r
r
r
Δr dr
=
v = lim
Δt →0 Δt
dt

Ecn 1.1

La velocidad siempre es tangente a la trayectoria

r

Aceleración a : Cambio envelocidad con el tiempo
La aceleración corresponde a la variación de la velocidad con respecto al tiempo.
Colocando los vectores de velocidad en un sistema de referencia xyz se ve que la
r
aceleración tendrá la misma dirección que Δv (Figura 8:

P1

y

r
v2

r
v1

r
v1

P2

O

r
v2

r
Δv
x

z
Figura 8:Variación en la velocidad
La aceleración en cualquier momento esta...