Cinemática del sólido rígido

Capítulo 6 Cinemática del sólido rígido
6.1. Introducción

Un sólido rígido es un sistema de partículas cuyas distancias relativas permanecen constantes: Sólido rígido (obsérvese que es el módulo del vector general cambiará su dirección). Si colocamos un sistema de referencia con origen en una de las partículas (o, más habitualmente, en el centro de masas) con un movimiento que seaexclusivamente de traslación, el resto de las partículas no pueden variar su distancia al origen, pero todavía pueden moverse girando respecto de un eje que pase por el origen. Por tanto, el movimiento más general de un sólido rígido es una combinación de una traslación y una rotación (alrededor de un eje que, en general, cambia con el tiempo). El movimiento de traslación del centro de masas viene descritopor

⇒ rij = cte ∀i, j rij
el que se mantiene constante; el vector en

M aCM =

dP = F ext dt

Aquí nos vamos a centrar en el movimiento de rotación.

6.2.

Momento angular de un sólido rígido

Sea un cuerpo rígido que rota en torno a un eje que llamaremos por el origen

z,

y que pasa

O,

con velocidad angular

ω

(por ser rígido, la velocidad angular es

la mismapara todo el cuerpo). Cada partícula describe una órbita circular (Figura 6.1). Por ejemplo, la partícula de vector de posición de radio

ri

describe una circunferencia

Ri = ri sen θi .

Su velocidad será perpendicular al plano formado por el eje

z

y

ri

(plano del papel en la gura), y valdrá

vi = ω × ri
(como ya vimos en 1.30). El módulo de la velocidad será por tanto

vi= ωri sen θi = ωRi
1

(6.1)

2

6. Cinemática del sólido rígido

El momento angular de esa partícula es

Li = mi ri × vi .

Este vector es perpen-

dicular a ri y a vi y está contenido por tanto en el plano del papel; forma un ángulo π − θi con el eje de rotación. Su módulo es Li = mi ri vi y su componente z es 2

Lzi = mi ri vi cos

π 2 − θi = mi ri ωRi sen θi = mi Ri ω 2(6.2)

(esto es igual al módulo del momento angular de la partícula tomado respecto del centro del círculo de su órbita).

ω

Ri z

vi ri θi

Li

π − −θi 2

O

Figura 6.1: Momento angular de una partícula en un sólido rígido

6.2.1. Momento de inercia
Si sumamos ahora esta componente partículas,

z

del momento angular para todas las

Lz =
i

L zi =
i

2 mi Ri

ω ≡Iω

(6.3)

donde hemos denido el momento de inercia despecto del eje z como

I≡
i

2 mi Ri

(6.4)

(aunque no lo hemos indicado en la notación, es obvio que I depende del eje de rotación que estemos considerando, porque eje). Si lo que sumamos es el momento

Ri

es la distancia de la partícula

i

al

Li

de cada partícula y no sólo su componente

z,

tenemos elmomento angular total:

L=
i
Universidad Carlos III de Madrid c Juan Meléndez 2010

Li

(6.5)

6.3 Cálculo de momentos de inercia

3

que en general no es paralelo al eje de rotación (porque los momentos individuales

Li ,

como hemos visto en la gura 6.1, no van según el eje Es intuitivo que si el eje

z)

z

es un eje de simetría del cuerpo, deberían anularse

lascomponentes de

L

no paralelas al eje, y así es. Un eje de este tipo, para el que

L

eje, se dice que es un eje principal de inercia. Para un eje principal de inercia,

L = Iω

(6.6)

No es nada intuitivo, pero es igualmente cierto, que para todo objeto, independientemente de su forma, hay siempre tres ejes principales de inercia mutuamente perpendiculares (no lo demostraremos).

6.3.Cálculo de momentos de inercia

En la práctica, un objeto rígido suele ser una distribución continua de masa. El sumatorio en la denición 6.4 debe sustituirse entonces por una integral, y la

mi

por

dm = ρdV

siendo

ρ

la densidad:

I≡
V
Si el objeto tiene densidad uniforme, factor puramente geométrico.

ρR2 dV R2 dV

(6.7)

I=ρ

V

y el momento de inercia es un...