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EJERCICIOS RESUELTOS 1º DE BACHILLERATO (Hnos.
Machado): EJERCICIOS DE REFUERZO 1º EVALUACIÓN
(Cinemática)
Por Álvaro Téllez Róbalo

1. El vector posición de un punto, en función del tiempo, viene dado por:
r(t)= t·i + (t2+2) j (S.I.)
Calcular: a) La posición, velocidad y aceleración en el instante t= 2 s.; b) El
ángulo que forman el vector velocidad y aceleración en el instante t=2 s.; c)
Laaceleración media entre 0 y 2 segundos.

a) Para calcular la posición en el instante t=2s, utilizamos la función que
nos han dado de la posición frente al tiempo y únicamente tenemos que
sustituir el instante dado y operar:
r(t)= t·i + (t2+2) j

para t=2s;

r(2)= 2·i + (22+2) j = 2i + 6j;
La posición en el instante t=2s es:

r(2)= 2i + 6j

(m)

Las unidades es importante ponerlas, en nuestro caso nosindican que están
en el sistema internacional (S.I.)
Para calcular la velocidad en el instante t=2s, utilizaremos la definición de
velocidad, la cual nos dice que la velocidad es la variación de la posición con
respecto al tiempo, y como ya sabemos, en física una variación se explica
matemáticamente, derivando nuestra función. Por lo tanto la variación de
posición con respecto al tiempo no es másque la derivada de nuestro
vector posición con respecto al tiempo:

‫(ܞ‬t) =

d‫(ܚ‬t)
= ܑ + 2t ‫ܒ‬
dt

Una vez que tenemos nuestro vector velocidad volvemos a sustituir nuestro
instante t=2s en la función:
v(2) = i + (2·2) j = i + 4j
La velocidad en el instante t=2s es:

v(2) = i + 4j (m/s)

Y por último para calcular la aceleración realizamos el mismo planteamiento
que para la velocidad, peroen este caso dado que la aceleración es la
variación de la velocidad con respecto al tiempo, derivaremos el vector de
velocidad con respecto al tiempo:

‫(܉‬t) =

d‫(ܞ‬t)
= 2‫ܒ‬
dt

Una vez derivada nos damos cuenta de que no depende del tiempo, y por
tanto este movimiento lleva una aceleración constante (MUA) para cualquier
instante de tiempo:
a(t)= 2j (m/࢙૛ )

b) Para calcular el ángulo queforman el vector velocidad y el vector
aceleración en el instante t=2s calculados anteriormente, primero los
representamos en el plano:
v(2) = i + 4j
a(t)= a(2) = 2j

El ángulo que nos piden es el que forman los dos vectores (α). Para ello
utilizamos la relación trigonométrica que relaciona el cateto opuesto con el
contiguo que es la tg α, ya que estos dos lo conocemos:
tg α =

௖௔௧.௢௣௨௘௦௧௢௖௔௧.௖௢௡௧௜௚௨௢

=

ଵ
ସ

Y despejamos α:
α = arc tg (1/4) = 14,04ை
c) En este apartado no nos hace falta calcular nada si nos damos cuenta de que la
aceleración es constante para cualquier instante y por lo tanto podríamos decir que la
aceleración media es la calculada en el apartado a):
a(t)= 2j (m/࢙૛ )
Pero si no nos damos cuenta de esto utilizaremos la definición de aceleración media.
La aceleración media se definecomo:

ܽ௠ =

‫ݒ‬௙ − ‫ݒ‬଴
∆v
=
∆‫ݐ‬
‫ݐ‬௙ − ‫ݐ‬଴

Para calcular la aceleración media entre los instantes t=0s y t=2s,
calcularemos las velocidades en los instantes t=0s y t=2s y sustituiremos
en la fórmula:
v(t) = i + 2t j
v(0)= i + 0j = i (m/s)
v(2) ya la calculamos en el apartado a):

௩೑ ି௩బ

ࢇ࢓ = ∆௧ = ௧
∆୴

೑ ି௧బ

=

௩(ଶ)ି௩(଴)
ଶି଴

=

v(2) = i + 4j (m/s)

௜ାସ௝ି௜
ଶ

=

ସ௝
ଶ

= ૛࢐ (࢓/࢙૛)

2. Desde un punto situado a 100 m. sobre el suelo se dispara
horizontalmente un proyectil a 400 m/s. Tomar g= 10 m/s2. Calcular: a)
Cuánto tiempo tardará en caer; b) Cuál será su alcance; c) Con qué
velocidad llegará al suelo.

Para resolver este ejercicio utilizaremos las fórmulas de la cinemática:

1
ܺ௙ = ܺ଴ + ‫ݒ‬଴ · ‫ ݐ‬+ ܽ‫ ݐ‬ଶ
2

‫ݒ‬௙ = ‫ݒ‬଴ + ܽ‫ݐ‬
Planteamiento gráfico:

a) Paracalcular el tiempo que tarda en caer utilizamos la ecuación de la
posición en el eje Y:

1
1
ܻ௙ = 0 = ܻ଴ + ‫ݒ‬଴௬ · ‫ ݐ‬+ ݃‫ ݐ‬ଶ = 100 + 0 · ‫ ݐ‬+ (−10)‫ ݐ‬ଶ = 0
2
2
‫ = ݐ‬ට

ଵ଴଴
ହ

= 4,47‫; ݏ‬

Tarda en caer 4,47s

b) Para calcular el alcance utilizamos la ecuación de la posición en el eje X,
ya que queremos averiguar Xf:
Imponemos el sistema de referencia en la posición...