Cinematica 2D

Cinemática 2
dimensiones
Introducción a la Mecánica

Nelson Zamorano Hole

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Chile

III

Cap´
ıtulo III

CINEMATICA EN DOS
DIMENSIONES
III.1.

VECTORES

III.1.1.

Representaci´n de vectores en dos dimensiones
o

Hasta ahora hemos descrito el movimiento en una dimensi´n. En este caso basta una
o
coordenada paraidentificar la posici´n de un punto. Obviamente, en dos dimensiones
o
necesitamos dos n´meros para localizarlo. Por ejemplo, para ubicar una calle en el mapa
u
de la gu´ de tel´fonos se dispone de dos datos, una letra y un n´mero; con la letra
ıa
e
u
se ubica la posici´n en el eje vertical y con el n´mero, la posici´n del bloque en el eje
o
u
o
horizontal. En otras palabras, al usar [A–16]como una coordenada, estamos identificando
las letras del alfabeto con la l´
ınea vertical (ordenada) del mapa y los n´meros con la
u
coordenada horizontal (abcisa).
Para precisar la posici´n de un punto en el plano, debemos recurrir a un par de
o
n´meros reales. Necesitamos dar los dos n´meros como un par ordenado para identificar
u
u
su significado sin ambig¨edades. Por convenci´n, elprimer n´mero corresponde a la
u
o
u
abcisa (eje horizontal) del punto a identificar y el segundo n´mero a la ordenada (eje
u
vertical). Usualmente, el punto con sus coordenadas respectivas se escribe como P(x,y).
La recta que une el origen O con el punto P, se denomina el vector OP, se escribe
−→

OP , y contiene informaci´n acerca de la direcci´n, sentido y magnitud del vector.
o
o
Ladirecci´n es la l´
o
ınea que atraviesa los puntos O y P de la Figura, el sentido es
la flecha que se instala en el extremo del trazo y la magnitud, es el largo del trazo, que
tambi´n se denomina el m´dulo del vector.
e
o
La magnitud o m´dulo de un vector se indica mediante dos barras verticales a cada
o
−→

uno de los lados del vector: | OP |. El m´dulo (o largo) del vector, es unn´mero que se
o
u
85

86

CAP´
ITULO III. CINEMATICA EN DOS DIMENSIONES

Figura III.1: Componentes Cartesianas de un vector. La proyecci´n del vector en el eje
o
x es la sombra que proyecta sobre dicho eje al trazar una perpendicular al eje x desde el
extremo del vector. Lo mismo es v´lido para la proyecci´n sobre el eje y.
a
o
obtiene usando el teorema de Pit´goras:
a
−→

2
| OP |≡ [x2 + yP ]1/2
P

Figura III.2: Representaci´n gr´fica de distintos vectores. En cada uno de ellos se indica
o
a
una de las caracter´
ısticas de un vector: magnitud, direcci´n y sentido.
o
La magnitud de un vector es siempre un n´mero real positivo. Dadas las coordenadas
u
de los dos puntos extremos de un vector: (xA , yA ), (xB , yB ), su valor se calcula de la
siguiente forma:
−→| AB |= (xB − xA )2 + (yB − yA )2

1/2

.
−→

donde (xB − xA ) representa la sombra que proyecta el vector AB sobre el eje–x.
An´logamente, yB − yA es la proyecci´n de este vector sobre el eje–y.
a
o
Esta es la forma gr´fica de representar un vector: mediante una flecha. Otra forma
a
de identificarlo, es a trav´s de las coordenadas de sus puntos extremos: forma anal´
e
ıtica.
Estem´todo se define a continuaci´n.
e
o

III.1. VECTORES

87

Un vector se representa por un par ordenado de n´meros. En el
u
primer casillero se inserta la proyecci´n del vector sobre el eje–x,
o
y en el segundo, su proyecci´n sobre el eje–y. Cada una de estas
o
proyecciones se obtiene haciendo la diferencia entre la coordenada
correspondiente a la cabeza de la flecha y la coordenada dela cola
de la flecha.

Figura III.3: Los vectores no comienzan necesariamente desde el origen. La Figura representa al vector AB, indicando sus componentes que, como se se˜al´, corresponden a
n o
la diferencia entre la coordenada del punto final menos la coordenada de la cola de la
flecha.
−→

−→

Por ejemplo, los vectores OP y OP de las Figuras II.1 y II.3, se pueden expresar...