Cinematica de cuerpo rigido

Concepto de sólido rígido [editar]


Figura 1. Concepto de sólido rígido.
Entendemos por sólido rígido un sistema de partículas en el que la distancia entre dos cualesquiera de ellas permanece invariable en el transcurso del tiempo. Los cuerpos sólidos que manejamos se deforman siempre, en mayor o menor grado, cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas; sin embargo, si éstas sonsuficientemente pequeñas, las deformaciones producidas son despreciables y, entonces, hablaremos de cuerpos rígidos o indeformables. La definición de sólido rígido es sólo conceptual, por cuanto que el sólido rígido, en todo rigor, no existe. En este sentido, el sólido rígido es sólo una idealización y extrapolación del sólido real, al igual que lo es la partícula o punto material.
Consideremosun sólido rígido y un sistema de coordenadas, xyz, como se muestra en la Figura 1. Indicaremos por ri y rj los vectores de posición de dos puntos, Pi y Pj, del sólido; la condición geométrica de rigidez se expresa por
(1)
La posición del sólido con respecto al sistema de ejes coordenados queda perfectamente determinada si conocemos la posición de tres cualesquiera de sus puntos, no alineados,como los puntos 1, 2 y 3 que se indican en la Figura 1. Para especificar la posición de cada uno de ellos se necesitan tres parámetros o coordenadas; de modo que en total necesitamos, aparentemente, nueve parámetros o coordenadas para especificar la posición del sólido en el espacio. Los tres puntos que hemos tomado como referencia están ligados por las condiciones de rigidez expresadas por [1];esto es, tres ecuaciones
(2)
que nos permiten despejar tres incógnitas en función de las demás, de modo que el número mínimo de parámetros o coordenadas necesarias para especificar la posición del sólido es solamente seis. Decimos que el sólido rígido posee seis grados de libertad.
Condición cinemática de rigidez [editar]


Figura 2. Condición geométrica de rigidez. La distancia entredos puntos cualesquiera permanece constante durante el movimiento.


Figura 3. Condición cinemática de rigidez. Las velocidades de los puntos alineados pertenecientes a un sólido rígido dan idéntica proyección sobre la recta que definen.
Para describir el movimiento de un sólido rígido deberíamos describir el movimiento de cada uno de los puntos materiales que lo constituyen. La situaciónpuede parecernos demasiado complicada pero, afortunadamente, la propia condición de rigidez impone ciertas restricciones al movimiento de los distintos puntos materiales del sólido, de modo que la situación se simplifica enormemente.
Para cada pareja de partículas pertenecientes al sólido rígido, la (Pi,Pj) por ejemplo, podemos escribir la condición geométrica de rigidez, esto es, la ec. [1.1],que derivada con respecto al tiempo nos conduce a
(1)
que también podemos escribir en la forma
(2)
donde rij y vij representan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula Pi con respecto a la Pj. La ec. [2] expresa un resultado importante: al no ser nulos ninguno de los vectores que intervienen en el producto escalar, han de ser perpendiculares entre sí. Dicho deotro modo: todo vector que tenga sus extremos fijos en el sólido rígido (como el rij) es perpendicular a su derivada con respecto al tiempo (i.e., a vij).
La ec. [2] puede escribirse en la forma
(3)
o también
(4)
ecuación que expresa la igualdad de las proyecciones de las velocidades de los puntos Pi y Pj sobre la recta que los une. Este resultado constituye la condición cinemática derigidez que se enuncia así:
Las velocidades de los puntos alineados pertenecientes a un sólido rígido dan idéntica proyección sobre la recta que definen.
Manifiestamente, la condición cinemática de rigidez expresa la imposibilidad de que se modifique la distancia entre dos puntos cualesquiera del sólido en el transcurso del movimiento de éste.
El movimiento más general del sólido rígido puede...