cinematica de fluidos

Mec´nica de Fluidos - 2009
a
Ejercicios resueltos
1. El campo de velocidades de un fluido est´ dado por:
a
v = (a, b sin(ωt), 0)
donde a y b son constantes. Calcule y grafique:
a) La l´
ınea decorriente que pasa por el origen, a t = 0, t =

π
2ω ,

t=

π
ω

yt=

3π
2ω .

b) La trayectoria de la part´
ıcula, que -a tiempo t = 0- estaba en el origen de coordenadas.
c) La l´ınea de humo de todas las part´
ıculas que pasaron por el origen de coordenadas, a t = 0,
π
π
3π
t = 2ω , t = ω y t = 2ω .
Respuesta:
a) L´
ıneas de corriente:
El campo de velocidades esuniforme (independiente de la posici´n), en otras palabras todos los
o
vectores velocidad son paralelos, las l´
ıneas tangentes a un campo uniforme ser´n entonces rectas
a
π
paralelas entre s´ A t= 0, v = (a, 0, 0) y la l´
ı.
ınea que pasa por el origen ser´ el eje x. A t = 2ω ,
a
b
π
3π
v(a, b, 0), la l´
ınea que pasa por el origen es: y = a x. A t = ω es nuevamente el eje x, y a t =2ω
b
ser´ la recta y = − a x.
a
b) Podemos calcular la funci´n de historia cinem´tica integrando la ecuaci´n diferencial:
o
a
o
∂ Φ(x, t)
= v(Φ, t)
∂t
Particularizando para nuestro campovectorial (uniforme, dependiente de t):
∂ Φ(x, t)
= (a, b sin(ωt), 0)
∂t
En componentes:
∂Φx
∂t
∂Φy
∂t
∂Φz
∂t

= a
= b sin(ωt)
= 0

Integrando, teniendo en cuenta la condici´n inicial:Φ(x, 0) = x, se obtiene:
o
Φx = x + at
b
Φy = y + [1 − cos(ωt)]
ω
Φz = z
Para la part´
ıcula que nos interesa: (x, y, z) = (0, 0, 0), su trayectoria se obtiene con la f´rmula:
o
p(t) = Φ((0,0, 0), t) = ((at,

b
[1 − cos(ωt)], 0)
ω

c) L´
ıneas de humo.
Como primer paso debemos identificar las part´
ıculas que, en alg´n momento pasaron por el origen:
u
evaluando la funci´n dehistoria cinem´tica en un instante que llamaremos τ , el resultado es el
o
a
punto (0, 0, 0):
Φ(p, τ ) = (0, 0, 0)
Reeplazando la expresi´n obtenida arriba:
o
px + aτ
py +

= 0

b
[1 −...