cinematica del cuerpo rigido

Trabajo e impulso

141

5. TRABAJO Y ENERGÍA E IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
PARA LA PARTÍCULA
5.1 Trabajo y energía cinética

1. Con una fuerza E de 20 kg, inclinada 30º, se
empuja un cuerpo de 50 kg sobre una superficie horizontal, en línea recta, a lo largo de 10 m. Los coeficientes de fricción estática y cinética son 0.3 y 0.2,
respectivamente. Calcule el trabajo que realizan la
fuerza E,el peso, la componente normal de la reacción de la superficie y la fricción durante el movimiento descrito.

Resolución
Mediante el diagrama de cuerpo libre investigaremos
las magnitudes de las fuerzas cuyos trabajos deseamos conocer.
∑ Fy = 0
⎛1⎞
N − 50 − 20⎜ ⎟ = 0;
⎝2⎠

N = 60

Por tanto Fr = 0.2 N = 12
Como las cuatro fuerzas son cortantes, el trabajo se
puede calcular mediante la expresión:
U= (F cos θ ) ∆s

en donde θ es el ángulo que la fuerza forma con el
desplazamiento, que, en este caso, es horizontal y
hacia la derecha.
⎛ 3⎞
⎟10
U E = (20 cos 30°)10 = 20⎜⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
U E = 173.2 kg ⋅ m

U P = (50 cos 270°)10
UP = 0

Trabajo e impulso

U N = (50 cos 90°)10
UN = 0

U Fr = (12 cos180°)10 = 12(− 1)10
U Fr = −120 kg ⋅ m

142

Trabajo e impulso

143

2. Una fuerza F de 500 N empuja uncuerpo de
40 kg de masa que reposa en una superficie horizontal. Sabiendo que el cuerpo se desplaza en línea recta
y que los coeficientes de fricción estática y cinética
entre al cuerpo y la superficie son 0.30 y 0.25, respectivamente, calcule la velocidad del cuerpo cuando se
haya desplazado 8 m.

Resolución
Investigaremos las magnitudes de las fuerzas externas
que actúan sobre el cuerpo de 40kg.

∑ Fy = 0
N − 40 g = 0; N = 40(9.81)
Por tanto:
Fr = µk N = 0.25( 40)9.81
Fr = 98.1

Los trabajos que realizan las fuerzas son:
UP =UN = 0
(pues son perpendiculares desplazamiento)
U F = 500(8) = 4000
U Fr = −98.1(8) = −784.8
La fórmula del trabajo y la energía cinética establece
que:

U = ∆T
4000 − 784.8 =

(

1
2
2
m v 2 − v1
2

(

1
(40) v 2 − 0
2
3215
v=
20

3215 =

v = 12.68 m

s

→

)

)Trabajo e impulso

144

3. El collarín de la figura, de 4 lb de peso, es
soltado desde el punto A de la guía lisa de la figura y
llega al punto B. Determine el trabajo que realiza su
peso durante ese movimiento y diga con qué rapidez
llega a B el collarín.

Resolución
Primer procedimiento
Dibujaremos el diagrama de cuerpo libre del collarín
en una posición cualquiera de su trayectoria.
Eldesplazamiento tiene la dirección del eje tangencial.
2

U = ∫ P cos ϑ ds
1

B

U = 4 ∫ cos ϑ ds
A

Como el ángulo ϑ decrece y crece durante el
movimiento, integraremos sustituyéndolo por el
ángulo ϕ , que es el complemento de ϑ y siempre
crece.
180°

U = 4∫

0°

senϕ ds

Tomaremos un desplazamiento diferencial y lo relacionaremos con ϕ .
dϕ =

ds
;
0 .6

ds = 0.6 dϕ
180°

U = 4(0.6)∫

0°

senϕ dϕ

U =2.4(− cos 180° + cos 0°)
U = 2.4[− (−1) + 1]

U = 4.8 lb ⋅ ft

Trabajo e impulso

145

Segundo procedimiento
Como el trabajo es una fuerza conservativa, es decir,
el trabajo que realiza es independiente de la
trayectoria que siga el cuerpo, se puede calcular
multiplicando su magnitud por el cambio de nivel de
la partícula (vid. Prob. 4)
U = P (∆h )
U = 4(1.2 )

U = 4.8 lb ⋅ ft

Trabajo e impulso146

4. Una partícula de masa m pasa por A con
una rapidez vo. Sabiendo que la superficie es lisa, determine, en función de la altura h, el trabajo del peso
y la rapidez v con que pasa por el punto B.

Resolución
En cualquier posición, las únicas fuerzas que actúan
sobre la partícula son el peso y una reacción normal.
Esta última no trabaja precisa-mente por ser normal al
desplazamiento. ϑ es elángulo que el peso forma
con el desplazamiento.
B

B

A

A

U = ∫ mg cosϑ ds = mg ∫ cosϑ ds
En la figura relacionaremos ϑ con un desplazamiento diferencial.
cos ϑ =

dh
ds

B⎛ dh ⎞
B
U = mg ∫ ⎜ ⎟ ds = mg ∫ dh
A ds
A
⎝ ⎠

U = mgh

Utilizando la fórmula del trabajo y la energía cinética
tenemos, tenemos:
U = ∆T
1
2
mgh = m v 2 − v0
2
2
2
v = v0 + 2 gh

(

)

v = v0 + 2 gh
2

Si v0 = 0 , entonces:...