cinematica y dinamica

Serie 1 Cinemática y Dinámica || Semestre 2008-1

1. Una partícula se mueve siguiendo la ley vectorial , donde t es en segundos. Determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración de la partícula cuando . Además determine la ecuación de la trayectoria que sigue la partícula.

Solución:
Tenemos una partícula toda loca que se anda moviendo como estúpida de acuerdo a una ecuación quenos dan. Lo primero que hay que notar es que la ecuación de movimiento tiene componentes i y j, pero no tiene componentes k, lo cual significa que se mueve en dos dimensiones, es decir, en el plano xy, por lo que se puede representar como sigue:

, donde y .

Recordando que la velocidad y la aceleración son derivadas de la posición, es decir, y , uno se da cuenta de que para obtener lavelocidad y la aceleración hay que derivar, con respecto al tiempo, una y dos veces, respectivamente, la ecuación de movimiento:

, .
, .

Por lo tanto:
, y .
Por lo que, para :

y .

Bueno, la fórmula para sacar magnitudes de vectores es:
, donde cada es una componente del vector. (También se puede escribir como: , pero bueno, cada quien sus gustos).


En el caso que nosocupa los vectores sólo tienen dos componentes, así que la cosa queda:

y

Para la segunda parte, tomemos en cuenta que y . Por lo tanto:


Comoedia finita est.
2. El movimiento curvilíneo de una partícula está definido por , , , donde x, y, z están en metros y el tiempo en segundos. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleración de la partícula así como los ángulos directores delos vectores de velocidad y aceleración cuando .

Solución:
Al igual que en el problema anterior, se derivan con respecto al tiempo las ecuaciones de posición:


Por lo que para :


Ahora bien, esto de los ángulos directores no esa nada del otro jueves. La definición es la siguiente:

Por lo tanto, para despejar los ángulos sólo hay que dividir las componentes del vector entre sumagnitud y sacarle coseno inverso al resultado. Así, para la velocidad los ángulos son:


Operando del mismo modo, para la aceleración los ángulos son:


Comoedia finita est.
3. Una partícula se mueve en el plano XY de tal forma que su posición está definida por , donde está en [rad] y r en [ft]. Si , donde t está en segundos, determine la velocidad y la aceleración de lapartícula cuando .

Solución:
Es exactamente la misma mamada que en la primera, a diferencia de que aquí primero hay que sustituir el valor de que nos dan aparte. Una vez hecho esto las ecuaciones quedan:



Y pues para :


Comoedia finita est.
4. El movimiento de las partículas A y B es descrito por las leyes y , respectivamente, donde t está en segundos. Determine cuándo y con quérapidez de las partículas ocurre la colisión de ambas.

Solución:
¡Madre de Dios, ya estamos hablando de colisiones! Calma, calma, que no cunda el pánico. El chiste aquí es determinaren que tiempo t ambas partículas se encuentran en las mismas coordenadas tanto en el eje y como en el eje z. La cosa va más o menos así:

Igualando los componentes en i nos queda:

Mmm… tenemos dos resultados,pero si igualamos las componentes en j:

Aquí también tenemos dos resultados, pero tomando en cuenta que para que las partículas colisionen necesariamente tienen que coincidir ambas coordenadas nos damos cuenta de que la única respuesta posible es:

Para sacar las velocidades simplemente derivamos con respecto al tiempo ambas ecuaciones de movimiento y sustituimos t=2s:

Y como nos pidenlas rapideces, pues sacamos las normas de los vectores:

y ya.
Comoedia finita est.
5. En cualquier instante, la posición horizontal de un globo meteorológico mostrado en la figura, es definida por , donde t está en segundos. Si la ecuación de la trayectoria es , determine a) la distancia del globo a la estación ubicada en A cuando t=2 s, b) la magnitud y la dirección de la velocidad...