Cinematica

Fenómenos de Transporte
Ing. Martín Rivera Toledo

Cinemática
La cinemática es el estudio del movimiento de las partículas materiales sin importar las fuerzas que lo provocan. El movimiento es una serie de configuraciones de la partícula material, considerando que la configuración es el estado instantáneo de la partícula material

si se considera a ξj (t = 0) como las coordenadas inicialesde la partícula material y Xi como coordenadas espaciales para la posición de la partícula en el tiempo t, entonces X = X ( ξ, t ) y como el medio es continuo ξ = ξ ( X, t ) si ξj y Xi son funciones continuas se cumple que

 ∂X det i  ∂ξ  j

 ≠0  

Cualquier cambio en la partícula se puede seguir por su trayectoria , es decir,

v = v(r , t ) y

dr = v(r , t ) dt
Tipos demovimientos
a. Flujo estacionario

∂v =0 ∂t

aceleración local

b. Flujos uniformes (homogéneos) La velocidad v debe tener igual magnitud y dirección en cualquier punto del campo de flujo, es decir,

∂v =0 ∂r

o bien

∂v j ∂xi

= 0 ij

c. Punto de estancamiento Se tiene que v = 0

Descripción del movimiento
1. Euler: Descripción espacial, las variables naturales son X = X (t ), porlo tanto v = v( X , t ) , se analiza el movimiento en un punto fijo (sistema de referencia fijo)

∂ϕ ∂ϕ  = ∂t ∂t  X 

2. Lagrange: Utiliza las condiciones iniciales

v = v(r 0 , t ) = v(ξ , t ) , en este caso el sistema de ejes se encuentra sobre la partícula material

Para cualquier propiedad asociada a la partícula material mostrará cambios a lo largo del tiempo y la posición ℑ(r , t) → ℑ(r + vδt , t + δt ) , si esta misma propiedad se expresa a través de una expansión en serie de Taylor

ℑ

ℑ(r + vδt , t + δt ) = ℑ(r , t ) +
si se escribe la diferencia

∂ℑ ∂ℑ δt + vδt + T 2 o (δt )2 + términos de orden superior ∂t ∂r
∂ℑ ∂ℑ 2 δt + vδt + T 2 o (δt ) + términos de orden superior y ∂t ∂r

[ ]

ℑ(r + vδt , t + δt ) − ℑ(r , t ) =
entre

[ ]

se

divide

δty se toma el límite cuando δt → 0

∂ℑ ∂ℑ   +v + T 2 o δt + términos de orden superior  lim ℑ(r + vδt , t + δt ) − ℑ( r , t ) = δt → 0 ∂t ∂r  
finalmente se obtiene

[ ]

Dℑ ∂ℑ Dℑ ∂ℑ ∂ℑ + v ⋅ ∇ℑ = +v⋅ = o bien ∂t Dt Dt ∂r ∂t

Derivada siguiendo el movimiento o derivada

material o derivada sustancial la cual está conformada por los términos de

- aceleración temporal -aceleración convectiva

∂ℑ ∂t
v ⋅ ∇ℑ

LINEAS DE TRAYECTORIA Y LINEAS DE CORRIENTE
Una línea de corriente es una curva imaginaria que conecta una serie de puntos en el espacio en un instante dado, de tal forma que todas las partículas que están sobre la curva en ese instante tienen velocidades cuyos vectores son tangentes a la misma, como se indica en la figura 23(a). De aquí, las líneas de corrienteindican la dirección del movimiento de las partículas que se encuentran a lo largo de ellas, en el instante dado. Un tubo de corriente o filamento de flujo es un tubo pequeño imaginario o conducto, cuya frontera está formada por líneas de corriente. Las líneas de corriente son fronteras en el mismo sentido que las paredes son fronteras de los conductos reales. Recíprocamente, las fronteras de unconducto real o de cualquier sólido inmerso en el fluido son líneas de corriente. Si las fronteras son paredes sólidas no hay componente normal de la velocidad en las mismas. En el movimiento permanente, las líneas de flujo se conservan fijas con respecto al sistema de referencia. Más aún, las líneas del flujo permanente coinciden con las trayectorias de las partículas móviles. En el movimientovariable o no permanente, una partícula del fluido no permanecerá, en general, sobre la misma línea de flujo; por lo tanto, las trayectorias de las partículas y las líneas de corriente no coinciden. El flujo uniforme variable es una excepción de esta regla. La figura 2-3(b) muestra una línea de corriente y la trayectoria de una partícula para un fluido no uniforme y variable. Se muestran los...