Cinematica

CINEMÁTICA Y DINÁMICA DEL MOTOR

Se puede obtener observando la figura anterior
que:

CINEMÁTICA DEL MOTOR
Como ha sido expuesto, el movimiento del
pistón se transforma en movimiento circular del
cigüeñal gracias a un sistema biela - manivela.

x = r • (1 − cosα ) + l • (1 − cos β )
En la expresión anterior el desplazamiento del
pistón x se expresa en función de α y de β, por lo
quepara calcularlo sólo en función del ángulo
girado por el cigüeñal, es necesario proceder
como se presenta a continuación:
Por tener un lado común los triángulos cuya
hipotenusas son la biela y la muñequilla de
cigüeñal, se puede establecer que:

r • senα = l • sen β ⇒ sen β =
Figura 1.- Sistema biela - manivela.

Para determinar la velocidad y la aceleración
del pistón es necesariodeterminar en primer lugar
la ecuación de posición del pistón en función del
ángulo girado por el cigüeñal.
x

r • senα
l

llamando λ a la relación entre la longitud de la
manivela y la de la biela, que en los motores
actuales es del orden de 0.33, se tiene que:

r
l

λ = ⇒ senβ = λ • senα ⇒ β = arcsen(λ • senα )
De la expresión anterior se obtiene β para cada
posición α de lamanivela.

c
l

Como:
β

cos β = 1 − sen2 β ,

sustituyendo

sen β por su valor en función de α, se tiene que:

α
r

Figura 2.- Esquema básico de biela-manivela.

Para ello si:
l: longitud de la biela.
r: radio de la manivela.
C: carrera del pistón.
x: posición del pistón referida al punto muerto
superior.
α: ángulo girado por el cigüeñal contado
desde el punto muerto superior.β: Ángulo que forma la biela con el eje del
cilindro.

cos β = 1 − λ2 • sen2 α
Sustituyendo este valor se tiene la expresión
del desplazamiento del pistón en función del
ángulo girado por la manivela, cuya ecuación es la
que se presenta a continuación:
x = r • (1 − cos α ) + l •  1 − 1 − λ2 • sen2 α 





La representación gráfica de la ecuación
anterior en unos ejescartesianos en los que en
abscisas se tome el ángulo girado por el cigüeñal
y en ordenadas el valor del desplazamiento
angular del pistón, ofrece una gráfica como la que
se presenta a continuación:

31

ω=

80
70
60
50

dα
dt

Por lo que se puede expresar que:

40
30
20


1 λ2 ·2·sen α·cos α 
·ω
V = r · sen α + ·

λ 2· 1 − λ2 ·sen2 α 



10
0
0º

20º

40º60º

80º

100º

120º

Ángulo de la manivela

140º

160º

180º

Figura 3.- Diagrama de desplazamiento del pistón.

De la observación del diagrama anterior se
desprende que para un movimiento angular de la
manivela α = 90º , el pistón recorre una longitud
mayor que la mitad de la carrera. Esto significa
que, si la velocidad de giro del cigüeñal es
constante, para recorrer laprimera mitad de la
carrera el motor emplea un tiempo menor que para
recorrer la segunda mitad.
Se puede demostrar analíticamente que, en el
instante que el pistón recorre la mitad de la
carrera, la biela y la manivela están formando
noventa grados.
La velocidad se calcula mediante la expresión:

Expresión en la que la velocidad angular del
motor ω se expresa en rad/s.
Como r es muchomás pequeño que l y como
sen 2 tiene como valor máximo la unidad es
posible, sin cometer gran error, despreciar el

α

término

λ2 • sen2 α ,

2

1 − λ • sen α puede considerarse que tiende a
1. Por tanto, la velocidad del pistón puede
calcularse mucho más fácilmente, de forma
aproximada, mediante la expresión:

V = ω • r • (senα + λ • senα • cosα)
Como:

V = dx / dt
es decir,hallando la derivada del espacio con
respecto al tiempo.

por lo que la expresión

2

sen α • cos α =

sen 2α
2

se puede expresar la velocidad mediante la
ecuación:

La expresión hallada anteriormente:

λ


V = ω • r •  sen α + • sen 2α 
2



x = r • (1 − cos α ) + l •  1 − 1 − λ2 • sen2 α 





también puede expresarse, teniendo en cuenta
que:
l=...