Cinematica

CINEMÁTICA
La Cinemática es la parte de la Mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos,
prescindiendo de las causas que lo producen. El objetivo de la cinemática es averiguar
en cualquier instante la posición que ocupa el cuerpo, su velocidad y su aceleración.

Cinemática del punto
Si el cuerpo es un punto material que se mueve sobre una curva, y en un instante t se
encuentra en un punto M, se define:
Vector posición, al vector que define la posición del móvil puntual
G
G G
G
G
OM = r ( t ) = x ( t )i + y ( t ) j + z ( t ) k , siendo O el origen de coordenadas del sistema de
referencia elegido. Es un vector variable en el tiempo y la curva que describe su
extremo M se llama trayectoria.
G
Vector velocidad, al vector que se obtiene al derivar el vector posición r ( t ) respectoal
tiempo, por tanto sus componentes son las derivadas respecto al tiempo de las
componentes del vector de posición. Este vector está localizado en M y coincide con la
tangente a la curva.
G
G
G
G
dr ( t )
G
v (t ) =
= x 'i + y ' j + z 'k
dt
Su módulo v = ds , es la derivada del arco recorrido s respecto al tiempo, su dirección
dt
es la de la tangente a la curva en el instante que se considere, portanto puede expresarse
como el producto de su módulo por un vector unitario en la dirección de la tangente
G
G
v = v ⋅ uT
Vector aceleración, es la derivada del vector velocidad respecto al tiempo.
G
G
G
G
G
G dv d 2 r
a=
= 2 = x ' 'i + y ' ' j + z ' ' k
dt
dt
siendo x’’, y”,z” las componentes cartesianas del vector aceleración. El vector
G
aceleración a se puede expresar también en función desus componentes intrínsecas
(una componente en la dirección de la tangente y otra en la dirección normal):
v2 G
G dv G
a=
uT + uN
dt
ρ

El término

G
dv K
uT = aT es la aceleración tangencial, que expresa la variación del módulo
dt

de velocidad con el tiempo y su dirección es la tangente a la trayectoria.
v2 G
G
u N = aN es la aceleración normal, que mide la variación de la dirección

Eltérmino

ρ

de la velocidad con el tiempo, está dirigida siempre según la perpendicular a la
trayectoria y hacia el centro de curvatura de la misma.

Clasificación de los movimientos
1.

Atendiendo a la forma de la componente normal de la aceleración aN =

v2

ρ

, el

movimiento se clasifica en:
1.1. Movimiento curvilíneo, si

el radio de curvatura depende del tiempo

ρ = ρ (t ) .
1.2. Movimientorectilíneo, si la aceleración normal es nula, a N = 0 , que
implica que el radio de curvatura es infinito).
Los dos movimientos anteriores pueden tener lugar en el espacio o en el plano.
2. Atendiendo a la forma de la componente tangencial de la aceleración, aT =

dv
,
dt

el movimiento se clasifica en:
2.1. Movimiento uniforme, si la aceleración tangencial es nula aT = 0 .
2.2. Movimiento variado, sila aceleración tangencial es función del tiempo

aT = aT (t ) .
2.3. Movimiento uniformemente variado, si la aceleración tangencial
permanece constante aT = cte .

Movimiento circular
Es un movimiento plano, en el que el radio de curvatura permanece constante e igual
al radio de la circunferencia que describe el punto móvil. La ecuación de la
trayectoria, en paramétricas, es:

x = R cosϕ ⎫
⎪
y =R sen ϕ ⎬
⎪
z=0
⎭
siendo R el radio de la circunferencia, y ϕ el ángulo que forma el vector de posición

con el eje OX en cada instante.
G
G
G
G
El vector de posición es r = R cosϕ i + R senϕ j = Ru R .
G
G
G
G dr
El vector velocidad es v =
= − senϕ i + cosϕ j R ⋅ ϕ ' . Como
dt
G
G
G G
velocidad v es perpendicular a r :v ⋅ r = 0 .

[

]

El módulo de la velocidad v = R ⋅ ϕ ' , siendo ϕ ' =

G
r =R = cte la

dϕ
la velocidad angular.
dt

El vector velocidad es el momento respecto a la posición en ese instante de la velocidad
angular :

G G
G G
G
G
v = M M (ϕ )' = ϕ '∧ R = Rϕ ' uT

G
G
G
siendo uT = − senϕ i + cosϕ j
G
G dv G
G
El vector aceleración es: a =
= aT + aN
dt
G
G
G
G
G
dv
= − Rϕ ' 2 cosϕ i + sen ϕ j + Rϕ " − sen ϕ i + cosϕ j
dt

[

]

[

]

Las componentes intrínsecas de la...