CINEMATICA

DINAMICA
La Mecánica comprende el estudio de la Cinemática, Estática y Dinámica.
I. CINEMÁTICA.
Estudia el movimiento de los cuerpos sin analizar las causas que lo producen.
CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA.
Partícula se define como un cuerpo cuyas dimensiones no se toman en cuenta si se
compara con las dimensiones de las longitudes de sus trayectorias recorridas durante su
movimiento.
Sistema dereferencia:
Es un punto fijo al cual se le asocia un sistema de ejes XYZ, como se muestra en la
figura 1 respecto al cual se puede analizar los fenómenos físicos.
Z
Y

0

Y
0

X

X

Z
Fig 1

Movimiento es el cambio de posición que experimenta la partícula en el tiempo con
respecto al sistema de referencia elegido.
La posición de una partícula se puede obtener de varias formas:
i) Por medio de laecuación horaria del movimiento.
Cuando se conoce la trayectoria de la partícula y la longitud “s” como una función del
tiempo comprendido entre el punto de partida Ao y el punto de llegada, A (fig 2), es
decir,
s = f(t) = AoA .
(1.1)
Esta relación se denomina ecuación horaria del movimiento.
Ao

Z

Y
s

A
A

0

r

Y

0

X

X

Z
Fig 2

Fig 1

ii) Por medio del vector de posición, r.

MG. ALBERTORODRIGUEZ QUIPUZCOA

Fig 3

Cuando se conoce el vector de posición r = f(t), se puede ubicar la partícula sobre su
trayectoria en cualquier instante, con respecto al sistema de referencia determinado (fig.
3).
r = f(t)
(1.2)
iii) Por medio de sus coordenadas rectangulares.
Cuando se conocen las coordenadas de la posición de la partícula como una función del
tiempo.
x = f ( t ),
y = f ( t ),
z = f(t)(1. 3 )
Las ecuaciones (3) reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la trayectoria ( fig
4)
Z

Z
A(x, y, z )

A
Δr

B

r
r + Δr

z
Y

Y
x
X
y
X

Fig (4)

Fig (5)

MOVIMIENTO CURVILÍNEO
En la fig 5 se muestra la trayectoria de una partícula cuya posición en el instante “t” está
definida por el vector posición r y, en el instante t + Δt por el vector r + Δr. El vector
Δr, recibe el nombre devector desplazamiento
Velocidad media. Se define como la razón entre el desplazamiento y el tiempo Δt
r
(1.4)
vm 
t
La velocidad media vm tiene siempre la dirección del desplazamiento Δr ( ¿por qué? )
Velocidad instantánea. Es la velocidad que tiene la partícula en cada instante.
Matemáticamente se define como


r d r

v  lim

t
dt
La ecuación (2) se puede escribir en la forma
v = v ut
endonde v es el módulo de la velocidad y u t es el vector unitario tangente a la
trayectoria.
La rapidez o módulo de la velocidad está relacionada con la longitud “s” de la
trayectoria mediante la regla de la cadena para la derivada


 dr dr ds
v

dt
ds dt

MG. ALBERTO RODRIGUEZ QUIPUZCOA

(1.5)

Donde u t = d r/ d s y la rapidez o módulo de la velocidad queda definida por
ds
(1.6)
v 
dt
Porlo tanto la velocidad queda definida en la forma

 dr 
(1.7)
v
ut
ds
Con la finalidad de simplificar la nomenclatura de las derivadas respecto al tiempo de
las cantidades que se deriven suele colocarse un punto encima del símbolo cada vez que
se derive determinada cantidad. Esto es
.

.

(1.8)
v  r  s ut
Aceleración. La aceleración “a” se define como la variación de la velocidad en la
unidadde tiempo
V1

Z

A
B

V1

V2

0

Δv

Y

X

V2
Fig 6

Fig 7

Aceleración media. La aceleración media entre los puntos A y B (fig. 6) se define como
la razón entre el incremento Δ v = v2 - v1 y Δt = t2 - t1
v
(1.9)
am 
t
La aceleración media am tiene el mismo sentido y dirección que Δv (fig 7) ( ¿por qué?).
Aceleración instantánea. Es la aceleración que tiene la partícula en un instante yposición determinada de la trayectoria. Se define como
 v
d v
d 2 r
(1.10)
a  lim


t
dt
d t2
Utilizando la nomenclatura simplificada se puede escribir
..
.
a  v  r
(1.11)

MG. ALBERTO RODRIGUEZ QUIPUZCOA

Coordenadas Tangencial y Normal
Cuando una partícula se desplaza
sobre una partícula curva, su rapidez
puede aumentar o disminuir lo mismo
que su dirección puede cambiar
continuamente....