CinematicaInversa

Dificultades de Cinemática inversa
3.‐ Cinemática de Manipuladores
(inversa) 
Dr. Alejandro Aceves López

Cinemática inversa

Espacio alcanzable vs diestro

Este puede ser un problema difícil de resolver porque:
a)
b)
c)

Es no lineal y trascendente.
Debe existir la solución.
Puede existir múltiples soluciones.

El espacio de trabajo alcanzable es el volumen
donde se puede colocar el efectorfinal con al menos
una orientación.
El espacio de trabajo diestro es el volumen de
espacio donde el efector final puede ser colocado en
cualquier orientación.

Para que exista solución de la IK, el punto destino del
efector final debe estar adentro del espacio de
trabajo alcanzable.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

yˆ3

xˆ3

yˆ 0

xˆ0

Si L1=L2 el espacio de trabajo es un círculo de radio 2L1 y el espaciodiestro es solo
el origen (un punto).

Cartesiano

Cilíndrico

Si L1≠L2 el espacio de trabajo es un anillo de radio externo |L1+L2| y de radio interno
|L1L2|, y el espacio diestro está vacío.
Nota: Si las variables articulares tienen limitaciones, entonces se reduce el espacio de
trabajo y el espacio alcanzable.

Esférico

Múltiples soluciones

Ejemplo: Robot PUMA560

Existencia de múltiplessoluciones para una orientación
y posición del efector final

Métodos para solucionar IK
Los métodos para resolver la cinemática inversa de un
manipulador se puede clasificar en:

a) Numérico: De naturaleza iterativa, lento, no siempre
converge a la solución y no entrega todas las soluciones.
b) Geométrico: Gráfico, en ocasiones difícil de visualizar pero
entrega todas las soluciones.
c) Analítico:Difícil, unos valores articulares dependen de otros
y entrega todas las soluciones.

IK algebraica

Método analítico
a) Todos los sistemas con articulaciones angulares y prismáticas
que tengan un total de seis grados de libertad en una sola
cadena en serie pueden resolverse analíticamente para un
espacio 3D. (Tres ecuaciones independientes para la
orientación y tres ecuaciones independientes para laposición).
b) Todos los sistemas con articulaciones angulares y prismáticas
que tengan un total de tres grados de libertad en una sola
cadena en serie pueden resolverse analíticamente para un
espacio 2D. (Una ecuación para la orientación y dos
ecuaciones independientes para la posición).

IK algebraica

Usaremos 7 teoremas.

si 1  a 2  0

si 1  b 2  0
Si a 2  b 2  c 2  0 

IK algebraicaMétodo analítico
METODOLOGIA:
1. Analizar el tipo de Td que el robot puede lograr.
0
2. Igualar       con T
nT
d y analizar la dependencia con los 
valores articulares. Primero solucionar para la posición.
3. Normalmente resulta en una ecuación interesante: 
2
2
2
2
2
2
PX2  PY2  PZ2  ?
o PX  PY  ? PX  PZ  ? PY  PZ  ?
0
4. Analizar            y tratar de despejar otro valor articular.
nT  Td5. Analizar la expresión: n1T  01T 1Td
2
0 1
6. Analizar la expresión:
nT  2T Td
7. Continuar hasta despejar todos los valores articulares.

Ejemplo 4    (1/3)

Ejemplo 4  (2/3)
La matriz de transformación del sistema coordenado {3} al {0} es:

c123
s
T   123
 0

 0

0
3

 s123
c123
0
0

0 L1c1  L2 c12 
0 L1s1  L2 s12 


1
0

0
1


c
s
 
0

0

 s
c
0
0

0 Px 
0 Py
 Td
1 0

0 1

Nótese que la matriz de rotación deseada solo puede ser del tipo Rz, además Pz=0. 
Con (1,2) es posible alcanzar una posición en (Px, Py). Con 3 se puede alcanzar 
cualquier orientación en ese plano ().
Analizamos:

Px2  Py2  L12  L22  2 L1 L2 c2

Despejar c2 y por teorema 2 se puede despejar 2. Tiene dos soluciones. 

Ejemplo 4    (3/3)

Ejemplo: Robot RP    (1/2)
1Analizamos                     y encontramos que:
3T  Td
0

L1c1  L2 c12  Px

L1c1  L2  c1c2  s1s2   Px

L1s1  L2 s12  Py

L1s1  L2  s1c2  c1s2   Py

d2

 L2c2  L1  c1   L2 s2  s1  Px
 L2c2  L1  s1   L2 s2  c1  Py
Por teorema 6 se despeja 1. Nótese que depende de 2 calculado previamente. 

Finalmente se puede decir que: 

1   2  3  

y despejar 3. 

1...