Cinemática del punto

Física I

Tema 1
Cinemática del punto

1

Tema 1 v1-2 J. I. D.

Física I

Posición de la partícula
z

r
Descripción externa: mediante el vector de posición r (t )
r
r
r
r
r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k
Ecuaciones
paramétricas
horarias

r
r (t )
 x(t )

 y (t )
 z (t )


y

x

r
r
r
r
2
3
r ( t ) = ( 4 t + 6 ) i + 5tj + 8 t k

Descripcióninterna:
• Trayectoria f(x,y,z)
• Funcion de arco s(t)
• Origen P0

P1

P0
s(t)

P1

• Sentido

Descripción externa
2

Descripción interna
J. I. D.

Física I

Velocidad: Derivada del vector de posición
r
∆r

r
r
r
r
r dr r
∆r
r ( t + ∆t ) − r ( t )
= r ′(t ) = lim ∆t →0
= lim ∆t →0
v=
dt
∆t
∆t

r
r (t )

r
∆r = ∆s

r
r (t + ∆t )

O

Velocidad

•Dirección tangente a la trayectoria
• Sentido de avance (∆t>0)
• Módulo
r
r
dr ds
dr
=
=
dt
dt dt

Se define el vector Unitario Tangente

r
r dr ds r
v=
= T
dt dt

r
T

r
r v
como T = r
v

Es un vector localizado e intrínseco (interno)
3

r
T r

r
r (t )

v

O

J. I. D.

Física I

Velocidad: Derivada del vector de posición
r
∆r

Expresión analítica(externa)

r
r (t )

r
∆r = ∆s

r
r (t + ∆t )

r
r
r
r
r dr r
∆r
r ( t + ∆t ) − r ( t )
O
v=
= r ′(t ) = lim ∆t →0
= lim ∆t →0
dt
∆t
∆t
r
x ( t + ∆t ) − x ( t ) r
y (t + ∆t ) − y (t ) r
z (t + ∆t ) − z (t ) r
v = lim ∆t →0
i + lim ∆t →0
j + lim ∆t →0
k
∆t
∆t
∆t
r dx (t ) r dy (t ) r dz (t ) r
v=
i+
j+
k
dt
dt
dt
r
r
r
r
2
3
r
r
r (t ) = (4t +6)i + 5tj + 8t k
r
r
r dr r
r
v=
= r ′(t ) = x′(t )i + y ′(t ) j + z′(t )k
r
r
r
2
dt
v (t ) = 8t i + 5 j + 24t k

4

J. I. D.

Física I

Velocidad: Derivada del vector de posición
r
∆r = ∆s

r
∆r

Expresión analítica (externa)

r
r (t )

r
r (t + ∆t )

r
r
r
r
r dr r
∆r
r ( t + ∆t ) − r ( t )
O
v=
= r ′(t ) = lim ∆t →0
= lim ∆t →0
dt
∆t
∆t
r
x ( t+ ∆t ) − x ( t ) r
y (t + ∆t ) − y (t ) r
z (t + ∆t ) − z (t ) r
v = lim ∆t →0
i + lim ∆t →0
j + lim ∆t →0
k
∆t
∆t
∆t
r dx (t ) r dy (t ) r dz (t ) r
v=
i+
j+
k
dt
dt
dt
r
r
r
r
r dr r
v=
= r ′(t ) = x′(t )i + y ′(t ) j + z′(t )k
dt
Velocidad media

5

∆s
vm =
∆t
∆t → 0
X

Dimensiones y unidades:

[v] = LT −1
m
s

J. I. D.

Física I

Aceleración:Derivada del vector velocidad

r
r
r dv d 2 r
a=
= 2
dt dt

r
r
r
r
r dv r
a=
= r ′(t ) = x′′(t )i + y′′(t ) j + z ′′(t )k
dt

Expresión analítica (externa)

r
r
r
r
2
v (t ) = 8t i + 5 j + 24t k
r
r
r
a (t ) = 8 i + 48tk
Dimensiones y unidades:

[a] = LT −2
m

6

s2

J. I. D.

Física I

Aceleración: Derivada del vector velocidad
r
T (t )

Descripcióninterna o intrínseca
•

Se define el unitario tangente en la dirección
y sentido de la velocidad

r
r (t )

O

•

•

Se define el unitario normal como contenido
en plano osculador, perpendicular a unitario
tangente y hacia el c.c.
Se define el unitario binormal

r
T (t + ∆t )

r
r
N (t ) N (t + ∆t )
ϕ
r
r (t + ∆t )

cc
Plano osculador
el formado por

r
T (t )

rT (t + ∆t )

r r r
B =T ×N
r
T
r
N
r
B
7

r
B r
N

Forman un Triedro Directo
llamado
Triedro de Frenet

r
T
J. I. D.

Física I

Aceleración: Derivada del vector velocidad
r
T (t )

s
r
v = vT
s
r
r dv d s dv s
dT
a=
= vT = T + v
dt dt
dt
dt
r
dT dsT r 1dϕ r dϕ r
=
N=
N=
N
dt
dt
dt
dt

r
r (t )

O

r
T (t + ∆t )

r
r
N (t ) N (t + ∆t)
ϕ
r
r (t + ∆t )

cc

Rdϕ = ds
ds
R
dϕ 1 ds 1
=
= v
dt R dt R

dϕ =

r
T (t )
r
T (t + ∆t )

r
N (t )

r dv s
dϕ r dv s v 2 r
a = T +v
N= T+ N
dt
dt
dt
R

8

J. I. D.

Física I

Aceleración: Derivada del vector velocidad
r
T (t )

s
r
v = vT
s
r
r dv d s dv s
dT
a=
= vT = T + v
dt dt
dt
dt
r
dT dsT r 1dϕ r dϕ r
=
N=
N=
N
dt
dt
dt...