CineticaCuerpoRigido

Cin´etica de Cuerpos R´ıgidos: Ecuaciones de Newton-Euler.
Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez
Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica.
Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E.
Carretera Salamanca-Valle de Santiago Km. 3.8 + 1.5
CP 36730, Salamanca, Gto., M´exico
E-mail: jrico@ugto.mx
Alejandro Tadeo Ch´avez
Departamento de Ingenier´ıa Mecatr´onica.
Instituto Tecnol´ogico Superior de Irapuato
CarreteraIrapuato-Silao Km. 12.5
CP 36614, Irapuato, Gto., M´exico
E-mail: altadeo@itesi.edu.mx

1

Introducci´
on.

En estas notas, se presentan los fundamentos de la cin´etica de los cuerpos r´ıgidos, en particular la
deducci´on de las ecuaciones de Newton-Euler para cuerpos r´ıgidos. En un primer lugar, se derivan las
ecuaciones de Newton-Euler para un cuerpo r´ıgido sujeto a movimiento espacial, en unasegunda etapa
se determina la forma particular de las ecuaciones de Newton-Euler cuando el cuerpo r´ıgido est´
a sujeto a
movimiento plano general y la distribuci´on de masas del cuerpo r´ıgido satisface ciertas condiciones. En
una etapa final, estas notas indican las limitaciones de las ecuaciones de Newton-Euler obtenidas aqu´ı,
as´ı como los casos especiales de las ecuaciones de Newton-Eulercuando el cuerpo r´ıgido est´a sujeto a:
1. Traslaci´on.
2. Rotaci´on alrededor de un eje fijo.
3. Movimiento de rodadura.

2

Suposiciones Fundamentales y Derivaci´
on de las Ecuaciones
de Newton-Euler.

Considere un cuerpo r´ıgido B y un cierto n´
umero de part´ıculas, P1 , P2 , P3 , Pi y Pj , totalmente arbitrarias,
que permiten ejemplificar el comportamiento de cualquier otra part´ıcula delcuerpo B. Sobre cada una
de esas part´ıculas actuan las fuerzas internas que ejercen el resto de las part´ıculas del cuerpo. Estas
fuerzas internas satisfacen dos propiedades:
1

1. La pareja de fuerzas internas que dos part´ıculas Pi y Pj se provocan entre si son iguales y de sentidos
contrarios.
fij = −fji .
(1)
donde el primer sub´ındice del vector f indica la part´ıcula sobre la cual actua lafuerza y el segundo
sub´ındice del vector f indica la part´ıcula que provoca la fuerza, vea la figura 1.

Figure 1: Suposiciones Acerca de las Fuerzas Internas de un Cuerpo R´ıgido B.
2. La direcci´on de las fuerzas internas que dos part´ıculas Pi y Pj , se provocan entre si, coincide con
la l´ınea que une ambas part´ıculas. Es decir, las fuerzas fij , fji son colineales.
3. Una part´ıcula Pi noejerce fuerza sobre si misma, es decir
fii = 0.

(2)

Por otro lado, sobre algunas part´ıculas, digamos Pi del cuerpo r´ıgido B, actuan fuerzas externas
cuya resultante est´a dada por Fi .

3

Suma de las Fuerzas Internas y Externas que Actuan Sobre
las Part´ıculas del Cuerpo R´ıgido B.

En esta secci´on determinaremos la suma de las fuerzas internas y externas que actuan sobre las part´ıculas
delcuerpo r´ıgido B. Aplicando la segunda ley de Newton para cada una de las part´ıculas Pi , se tiene que
Fi +

fij = mi aPi

(3)

j

donde aPi es la aceleraci´on de la part´ıcula Pi que puede expresarse en t´erminos de la aceleraci´on del
centro de masas G del cuerpo r´ıgido B como, vea la figura 2,
aPi = aG + α × rPi /G + ω × ω × rPi /G .
2

(4)

Figure 2: Vectores Velocidad y Aceleraci´on Angular deun Cuerpo R´ıgido B.
De manera que la ecuaci´on (3) puede expresarse, empleando los vectores velocidad, ω, y aceleraci´on,
α, angular del cuerpo r´ıgido
Fi +

fij = mi aG + α × rPi /G + ω × ω × rPi /G

(5)

.

j

Realizando la suma de ambos lados de la ecuaci´on (5) con respecto a todas las part´ıculas del cuerpo
r´ıgido B se tiene que
Fi +

fij =
j

B

mi aG + α × rPi /G + ω × ω × rPi /G

(6).

B

o separando los t´erminos,
Fi +
B

fij
B

j

= aG

mi rPi /G + ω × ω ×

mi + α ×
B

B

mi rPi /G

.

(7)

B

Sin embargo, por las propiedades de las fuerzas internas entre las part´ıculas del cuerpo r´ıgido B, se
tiene que
(8)
fij = 0.
j

B

De manera semejante, por la definici´on del centro de masas, G, se tiene que
mi rPi /G = 0

(9)

B

Finalmente, la masa total, M , del cuerpo r´ıgido B...