Circuito Eléctrico

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ABSTRACT— A continuaci´ n a de presentarse el correspondiente an´ lisis de un circuito el´ ctrico, que presenta una o a e respuesta transitoria debido a los elementos reactivos que existen en el mismo, para ello se ha construido un programa que muestra claramente las gr´ ficas correspondientes para distintos valores de V,R,L,C. a palabras clave— Transitorio, Malla, Cr´ticamenteamortiguado,Subamortiguado, Sobreamortiguado,Oscilatorio, Matlab. ı I. ´ INTRODUCCI ON

El r´ gimen transitorio que se analiza en cualquier circuito el´ ctrico en general viene condicionado por ciertas respuestas que e e se extinguen en el tiempo, caso contrario a lo visto en el r´ gimen permanente, que es la respuesta que permanece constante e hasta que se var´a el circuito o bien la excitaci´ n del mismo.ı o Este informe esta basado en la soluci´ n de un circuito en particular (RLC) el cual entra en estado transitorio cuando se o cierra un switch (t=0), este estado se produce debido a los elementos almacenadores de energ´a, en nuestro caso estos son ı inductores y condensadores. Este informe a de cubrir este tema sobre transitorios el cual no fue visto en clase. Para mayor entendimiento sobre eltema se resolvi´ el circuito para el caso general en el que se desconocen V,R,L,C, para o posteriormente ser aplicado en un programa que al pedir dichos valores al usuario(V,R,L,C) muestra el tipo de respuesta con su respectiva gr´ fica. a

II. v =R∗i+ Derivando: 0 = R ∗ i + L di (t) + 1 i d(t) c L di(t) d(t) +
1 c

MODELADO DEL CIRCUITO

i(t)d(t)

Organizando de forma que podamos ver unaecuaci´ n de segundo grado o cuadr´ tica: o a 0 = L ∗ i + R ∗ i + 1i c 0 = L ∗ λ2 + R ∗ λ + √ −R± R2 −4∗L( 1 ) c λ= 2∗L
1 c

Por tanto obtendremos 2 respuestas de λ: √ −R+ R2 −4∗L( 1 ) c λ1 = 2∗L λ2 =
−R−

√

R2 −4∗L( 1 ) c 2∗L

En este siguiente paso vamos a omitir la demostraci´ n de los diferentes tipos de respuesta, dando inmediatamente la condici´ n o o necesaria para que se cumplacada caso.

† Estudiantes Ingenier´a electr´ nica Unal. ı o

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1. TIPO DE RESPUESTA; Sobreamortiguado: λ= λ=
−R 2∗L −R 2∗L

± ±

R2 (2∗L)2 R2 4∗L2

−

1 4( C )∗L (2∗L)2

−

1 L∗C

Este tipo de respuesta se da cuando:
R2 4∗L2

>

1 L∗C

La respuesta para este caso es de esta forma: y = k1 eλ1 ∗t + k2 eλ2 ∗t Ahora vamos hallar a k1 , k2 , λ1 y λ2 Tomando la condici´ ndel circuito (t=0) y con el switch abierto, es decir sin fuente de voltaje : o 0 = k1 + k2 Por tanto k1 = −k2 v = R ∗ (y) + L ∗ (y ) + v = L ∗ (y )
v L v L 1 c

y

= (k1 ∗ eλ1 ∗t + k2 ∗ eλ2 ∗t )

0

= k1 ∗ λ1 ∗ eλ1 ∗t + k2 ∗ λ2 ∗ eλ2 ∗t

Para el tiempo (t=0)
v L

= k1 ∗ λ1 + k2 ∗ λ2

Resolviendo las dos ecuaciones por matrices:
v L

= k1 ∗ λ1 + k2 ∗ λ2

0 = k1 + k2 1 1 0 v λ1 λ2 L ∆ = λ2 − λ1
v ∆1 = − L

∆2 =

v L

Por propiedad: k1 = k2 =
v −L λ2 −λ1 v L

λ2 −λ1

Ya tenemos a k1 y k2 , λ1 y λ2 son: √ −R+ R2 −4∗L( 1 ) c λ1 = 2∗L λ2 =
−R−

√

R2 −4∗L( 1 ) c 2∗L

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2. TIPO DE RESPUESTA; Cr´ticamente amortiguado: ı λ=
−R 2∗L

±

R2 4∗L2

−

1 L∗C

Este tipo de respuesta se da cuando:
R2 4∗L2

=

1 L∗C

La respuesta para este casoes de esta forma: y = k1 eλ∗t + k2 ∗ t ∗ eλ∗t Donde λ =
−R 2∗L ,

porque la ra´z se cancela, por tanto solo nos queda nuestro primer termino ya dicho anteriormente. ı

Para condiciones iniciales (t=0)nos da que: k1 = 0 Ahora debemos hallar k2 . v = R ∗ (y) + L ∗ (y ) + v = L ∗ (y )
v L v L 1 c

y

= (k1 ∗ eλ1 ∗t + k2 ∗ t ∗ eλ2 ∗t )

0

= k1 ∗ λ1 ∗ eλ1 ∗t + k2 ∗ eλ2 ∗t + λ2 ∗ k2 ∗ t ∗eλ2 ∗t
v L

Para t=0:

= k2

Por tanto y queda: y = k2 ∗ t ∗ eλ∗t 3. TIPO DE RESPUESTA;Subamortiguado:
R λ = − 2∗L ± 1 L∗C

−

R2 4∗L2

∗i

Debido que para este caso en particular la ra´z es negativa, es decir, un numero imaginario, lo que hacemos es cambiar el ı √ orden de los t´ rminos dentro de la ra´z y sacar el factor i ( −1). e ı Este tipo de respuesta se da cuando:
R2...