Circuito RLC Desarrollo Analitico

RESPUESTA COMPLETA DE UN CIRCUITO
RLC EN SERIE EXCITADO CON UNA FUNCIÓN
FORZANTE SENOIDAL
PROFESOR: LUIS RODOLFO DÁVILA MÁRQUEZ
Departamento de Electricidad y Electrónica
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER

24/01/2010

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Profesor Luis Rodolfo Dávila Márquez

CÓDIGO: 00076 UFPS

RESPUESTA COMPLETA DE UN CIRCUITO RLC EN SERIE A UNA FUNCIÓN FORZANTE
SENOIDAL
INTRODUCCIÓN:
Elpropósito de este documento es le de proporcionar a los estudiantes de los cursos de análisis de circuitos
eléctricos en general una guía que les sirva de referencia en el estudio de dichos circuitos.
Una de las formas utilizadas para determinar las respuestas a las variables de un circuito eléctrico, excitado con
cualquier función forzante, es la de utilizar el modelo matemático (ecuacióndiferencial), el cual, representa el
funcionamiento o comportamiento de todos sus elementos constitutivos. Las respuestas para cualquier variable del
circuito se obtienen mediante el desarrollo y análisis de resultados del modelo matemático. Por lo anterior, este
documento determinará la ecuación diferencial para la carga y corriente del circuito y posteriormente el desarrollo
de la misma, mediante unproceso analítico. Adicionalmente se presentarán varios métodos de simulación del
funcionamiento del circuito eléctrico, mediante los software de Pspice- OrCad y de Matlab
CIRCUITO ELÉCTRICO A ANALIZAR
A continuación se presenta el circuito eléctrico RLC en serie excitado por una fuente senoidal, para el cual se
pretende determinar la carga, la corriente y los voltajes de cada uno de los elementos delcircuito.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:

Para el circuito eléctrico de la figura siguiente, estando el inductor y el capacitor descargados, el interruptor se
cierra en t = 0. Se pretende determinar la carga y la corriente del circuito, como los voltajes de todos los
elementos para t ≥ 0.
vL(t)
vR(t)
DATOS DEL PROBLEMA:

i(t)
vC(t)

v(t)

R = 5 Ω, L = 0.5 H, C = 0.00123F
v(t) = Eo Sen( w t) v
v(t) =100 Sen(60 t) v
Eo = 100 v , w = 60 rad/seg

DESARROLLO ANALÍTICO EN LA DETERMINACIÓN DE LA CARGA Y LA CORRIENTE DEL
CIRCUITO
DESARROLLO ANALÍTICO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO:

La ecuación diferencial que se presenta para un circuito RLC en serie, viene dada por:
di q
+
(A) v ( t ) = i R + L
en donde v ( t ) = E 0 sen(w t ) (corriente alterna)
dt C
Eo = 100 es el valor máximo en voltios y w = 60 = 2π f es la frecuencia angular en rad/seg, siendo f la
frecuencia en ciclos por segundo, f = 9.549296 Hz.
R ( Ω ) , L ( H ) y C ( F ) son los parámetros de los componentes y para este caso son constantes.
q(t) es la carga del condensador, i (t) es la corriente del circuito, son las variables a determinar.

Para t = 0, q(0) = 0, el capacitor está descargado. i (0) = 0, el inductor está descargado24/01/2010

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Profesor Luis Rodolfo Dávila Márquez

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La carga y la corriente se relacionan por i ( t ) =

d q (t)
dt

(B). Derivando a ambos lados de la ecuación (A),

di
d 2i 1 d q
dv
reemplazando el valor del voltaje y dejando solamente la variable i, la
R+L 2 +
=
C dt
dt
dt
dt
E w
1
d2i R d i
+
i = o
cos(w t ) (1) que presentada en otra notación
ecuación se puedeexpresar como: 2 +
L
L dt LC
dt
E w
R
1
i´´ + i´ +
i = o
cos(w t ) , reemplazando los valores de los parámetros, la ecuación
quedará:
L
LC
L
di
d2i
quedará:
+ 10
+ 1626 i = 12000 cos(60 t) (2)
2
dt
dt
Por otro lado, reemplazando la ecuación (B) en la ecuación (A), esta quedará definida por:
E
1
d 2q R d q
+
+
q = o Sen(w t ) (3), reemplazando los valores de los parámetros, la ecuación quedará:
2L
L dt LC
dt
2
dq
d q
+ 10
+ 1626 q = 200 Sen(60 t) (4)
2
dt
dt
tendremos:

DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CARGA

Se trata de desarrollar analíticamente una de las dos ecuaciones anteriormente presentadas considerando las
condiciones iniciales siguientes: vc (0) = 0 ; qc (0) = 0 ; i(0) = 0 o
d qc
i (0) =
= 0 = q c′ (0) ; v (0) = 100 Sen(0) = 0 ; vL (0) = 0 ; vR (0) = 0
dt t=0
De la...