Circuito r l serie sin excitación

 Circuito R L serie sin excitación con condiciones iniciales no nulas.
Este caso es denominado: Régimen natural
Partamos del siguiente circuito:

Luego de un tiempo prolongado de funcionamiento circulará una corriente Io como la indicada en el circuito. En un determinado instante que designamos con t =0 se abre la llave l, de forma tal que en la bobina se cumplirá:
t = 0 entonces i = IoBajo estas condiciones estudiaremos como varía la corriente i en función del tiempo a través del circuito que contiene a la resistencia R.
El circuito, queda así librado a la única acción de la energía concentrada en el campo magnético de la bobina la cual retorna al circuito disipándose progresivamente en el resistor en forma de calor.
Del párrafo anterior sabemos que:

Pero en este caso v = 0,por lo tanto:

Esta última ecuación diferencial es lineal, de primer orden y homogénea, la cual puede resolverse separando diferenciales, es decir, se procede como sigue:

Para resolver esta ecuación integramos ambos miembros, con lo que obtenemos:

El valor de la constante de integración K, lo obtenemos aplicando a la última expresión las condiciones iniciales, es decir:
t = 0 entonces i =Io por lo tanto
ln Io = K
valor este que remplazando en la expresión anterior, nos da:

operando en esta última expresión obtenemos:

de donde:

Es decir que el proceso tiene una variación exponencial , se inicia cuando la relación de intensidades es uno para t = 0 y tiende asintóticamente a cero tal cual se puede observar en el gráfico:

 Hallemos ahora el valor de la subtangente, enel triángulo formado en la figura por los ejes y la recta tangente a la curva en t = 0, observemos:
tg = St / 1 de donde St = 1 . tg a)
por otro lado:

(b)
Relacionando las expresiones (a) y (b), llegamos a la conclusión:

donde la subtangente es el tiempo al cabo del cual el valor final de la corriente es nulo si el decrecimiento en lugar de ser exponencial se verifica en forma lineal conla misma pendiente del instante t = 0.
A dicho tiempo  se lo llama constante de tiempo y su unidad es el segundo. Es posible demostrar que no solamente para t = 0, sino para cualquier otro instante, la subtangente continua tomando el mismo valor, es decir, que la constante de tiempo es una característica de los parámetros del circuito y jamás del tipo de excitación.
Dijimos que si el procesofuese lineal al cabo de t =  segundos, la corriente sería nula, pero debido a la naturaleza exponencial del fenómeno el valor será:

Es decir que al cabo de un tiempo  la corriente se reduce en un 36,8 % del valor inicial, o también que existe una reducción del 63,2% del valor total.
En definitiva, la intensidad en función del tiempo, vendrá dada por:

Las caídas de tensión instantáneas enlas resistencias y en la inductancia en función del tiempo, serán:

Grafiquemos estas tres expresiones en función del tiempo:

 3.- Circuito R L serie con excitación escalón y condiciones iniciales nulas.
La excitación escalón corresponde a la siguiente expresión matemática:
t entonces u (t) = 0
 
t > 0 entonces e (t) = V

Partimos como siempre de la expresión:

siendo nuestro circuito elsiguiente:

Esta última expresión, es una expresión diferencial no homogénea, lineal de primer orden, la cual para resolverla requerirá una previa separación devariables tal cual se indica en las operaciones que haremos.

por tanto 
integrando ambos miembros:
(1)
Resta ahora aplicar las condiciones iniciales, es decir:
para t = 0 i = 0
y con esto determinar K:
por tanto 
reemplazandoel valor de K en ( 1 ):

multiplicando por – l esta última expresión y operando llegamos a :

luego, la caída de tensión en la resistencia será:

y la caída de tensión en la bobina será:

Representando estas tres expresiones gráficamente obtendremos:

Cabe, ahora, hacer las siguientes consideraciones como conclusión:
1.-Tanto i como vr y vl tienen dos términos, el primero que no es...