Circuito

PROBLEMAS DE TEOREMA DE LA DIVERGENCIA


ENUNCIADO DEL TEOREMA

Sea E una región simple sólida cuya superficie frontera S tiene una orientación positiva (hacia afuera). Sea F un campo vectorialcuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a E. Entonces:



Recordar que otra notación para div F es •F

1.) Evaluar el flujo delcampo vectorial

F(x;y;z) = xyi +(y2 + )j +sen(xy)k

a través de la superficie frontera de la región E acotada por el cilindro parabólico z = 1 x2 y los planos z = 0, y = 0, y + z = 2.SOLUCIÓN

El problema invita a la transformación de la integral de flujo en algún otro tipo de integral para evitar las complejidades que surgirían de parametrizar el segundo término de la segundacomponente del campo vectorial, y también para hacer una sola integral en vez de cuatro.

Para aplicar el teorema de la divergencia calculamos:
La superficie dada puede parametrizarse a través decoordenadas esféricas:



Con esta parametrización tenemos:



¿Es ésta una normal exterior? Probémoslo con un punto. En (0;3;0) tendríamos  =  = /2, y para tales valores el PVF calculado da(0;-9;0), o sea una normal interna. Por lo tanto la normal externa vendrá dada por el PVF calculado haciendo el producto vectorial en el orden opuesto, esto es:



Evaluando ahora F en función de estaparametrización es:

F(;) = 3(3sencos; 3sensen; 3cos)

y:

F•(rr) = ••• = 81sen

Así que:



Hemos hecho un cálculo bastante complejo por integrales de superficie. Veamosahora cómo reduciendo esto a una integral de volumen con el teorema de la divergencia el cálculo se simplifica notablemente.

Calculemos en primer lugar la divergencia:



Calculando las derivadasparciales por separado y sumando miembro a miembro se tiene:



Si ahora llevamos esto a coordenadas esféricas tenemos:


Haciendo los cálculos obtenemos:



Hemos obtenido el mismo...