Circuitos de Primer Orden

Circuitos de primer orden
Son circuitos caracterizados por una ecuación diferencial de primer orden. Cualquier circuito formado por un conjunto cualquiera de resistencias y fuentes independientes y un solo elemento almacenador de energía (L ó C; inductor o capacitor) es de 1er orden.
En los problemas de circuitos de primer orden los cambios se dan al cerrar o abrir uno o varios interruptores,entonces se van a considerar tres tiempos, primero el tiempo justamente antes de darse el cambio y al cual se le llama t < 0; cuando se da el cambio es t = 0; y el tiempo después del cambio es llamado t > 0. Estas son las condiciones iniciales del circuito.
Una de las características dice que el voltaje en el capacitor no puede cambiar instantáneamente, esto es:
Vc (t < 0) = Vc (t = 0) = Vc(t > 0)
Para el caso del inductor es que la corriente no puede cambiar instantáneamente, lo que quiere decir que;
Il (t < 0) = Il (t = 0) = It (t > 0)
Otra de las características dice que el capacitor en estado estable se comporta como circuito abierto de corriente directa, lo que quiere decir que el voltaje del capacitor puede ser 0V o tomar un valor constante.

En la figura a) un ejemplode circuito RC paralelo pero alimentado por una fuente de intensidad o corriente en paralelo lo que es equivalente a (equivalente Thevenin de la fuente de intensidad o corriente en paralelo con la resistencia) a un circuito RC en serie. En el segundo circuito, figura b), un circuito RL en serie alimentado por una fuente de tensión en serie.

Circuito RL
El análisis de circuitos que contieneninductores y/o capacitores depende de la formulación y solución de ecuaciones integro diferenciales que caracterizan a los circuitos. Se llamará ecuación diferencial lineal homogénea al tipo especial de ecuación que se obtiene, la cual es simplemente una ecuación diferencial en la que cada término es de primer grado en la variable dependiente o en una de sus derivadas. Se obtiene una solucióncuando se encuentra la expresión de la variable dependiente que satisface la ecuación diferencial y también la distribución de energía preescrita en los inductores o capacitores en el instante preestablecido, por lo general t = 0. La solución de la ecuación diferencial representa una respuesta del circuito y se conoce con muchos nombres. Puesto que depende de la “naturaleza” general del circuito (lostipos de elementos, sus tamaños, la interconexión de los elementos), se denomina a menudo como respuesta natural. Sin embargo, todo circuito real que se construya no puede almacenar energía por siempre; necesariamente, las resistencias asociadas con los inductores y capacitores a la larga convertirán toda la energía almacenada en calor. La respuesta debe al final extinguirse (o sea desaparecer),razón por la cual con frecuencia se le conoce como respuesta transitoria. Por último, también es necesario familiarizarse con la aportación de los matemáticos a la nomenclatura: asignan el nombre de función complementaria a la solución de una ecuación diferencial lineal homogénea.
Cuando se analizan fuentes independientes que actúan sobre un circuito, parte de la respuesta recordará la naturalezade la fuente particular (o función forzada) que se utiliza; dicha parte, denominada solución particular, respuesta de estado permanente o respuesta forzada, se “complementa” con la respuesta complementaria producida en el circuito sin fuente. La respuesta completa del circuito estará dada entonces por la suma de la función complementaria y la solución particular.

El estudio comenzará con elanálisis transitorio considerando el simple circuito RL en serie que se presenta en la siguiente figura. Se va a designar la corriente variable en el tiempo como i (t); se representará el valor de i (t) en t = 0como I0; en otras palabras, i (0) = I0. Por lo tanto, se tiene

Ri + Vl = Ri + L di/dt = 0

di/dt+R/L i =0
La meta es una expresión de i(t) que satisfaga esta ecuación y también tenga...