Circuitos Electricos Unidad 3

Unidad 3
INTRODUCCIÓN Muchas veces la ingeniería se ha apropiado de herramientas matemáticas para resolver de manera eficaz los problemas que se le presentan. Cuando se tienen circuitos con elementos como inductores y condensadores, se opta por el camino de resolver las respectivas ecuaciones integrodiferenciales, que a medida que aumenta la complejidad de la topología del circuito, éstas se vanhaciendo casi imposibles de resolver de forma rápida y se corre el riesgo de cometer errores por la complejidad de los procedimientos. Es por tal motivo que se debe hacer uso de una herramienta que convierta las ecuaciones integro-diferenciales en ecuaciones algebraicas y así permitir dar respuesta a éstos problemas de manera directa y rápida. Esta herramienta se llama la transformada de Laplace,en honor a su gestor.

3.1 Definición de transformada de Laplace.

La transformada de Laplace es una ecuación integral que involucra para el caso específico del desarrollo de circuitos, las señales en el dominio del tiempo y de la frecuencia, relacionándolas como:

a este par de ecuaciones se les llama la transformada bilateral de Laplace, pues es válida para valores positivos y negativosde t; no obstante, el interés en el análisis de circuitos se centra en funciones que comienzan en un tiempo que se podría llamar inicial. Bajo esta consideración podemos “redefinir” la transformada como:

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Llamando este par ahora como transformada unilateral de Laplace. Para asegurar que las funciones que vamos a utilizar tengan transformada, estas deben cumplir básicamente con doscondiciones: 1. la función v (t) debe ser integrable en todo el intervalo finito donde:

2. El límite:

Existe para algún valor de

.

TEOREMAS Y PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE I

LINEALIDAD: la transformada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las transformadas.

DEMOSTRACIÓN LINEALIDAD:

Dadas dos funciones en el tiempo f1(t) y f2(t), se desea hallar la transformadade Laplace de la suma de dichas funciones.

Cuando una función está multiplicada por una constante, la propiedad de las integrales de no las considera para efectos de integración, esto hace que este factor salga de la transformada de Laplace y sea también factor pero de la función ya transformada:

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Estas propiedades ayudan a simplificar transformadas en gran variedad de casos.DERIVACIÓN EN EL TIEMPO: La diferenciación en el dominio del tiempo es equivalente a una multiplicación por s en el dominio de la frecuencia.

DEMOSTRACIÓN DERIVACIÓN EN EL TIEMPO:

Dada una función f (t), se desea hallar la transformada de Laplace de la derivada de dicha función.

Utilizando integración por partes:

para la segunda derivada tenemos:

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La última integral, corresponde alcaso de primera derivada que con anterioridad hemos resuelto, es por esto que reemplazamos directamente el resultado:

Se pueden obtener resultados similares para derivadas superiores. Lo importante es ver que cuando las condiciones iniciales son cero, la derivación en el dominio del tiempo es equivalente a una multiplicación en el dominio de la frecuencia.

INTEGRACIÓN EN EL TIEMPO: laintegración en el dominio del tiempo es equivalente a una simple división por s en el dominio de la frecuencia.

Las condiciones iniciales se evalúan, haciendo que el intervalo de integración las incluya y separar esta integral de la de Laplace. DEMOSTRACIÓN INTEGRACIÓN EN EL TIEMPO:

Dada una función f (t), deseamos hallar la transformada de Laplace de la integral de dicha función.

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usando latécnica de integración por partes:

Este resultado nos hace ver que la integración en el dominio del tiempo es equivalente a una división por S en el dominio de la frecuencia.

CONVOLUCIÓN: la convolución se define como la operación entre dos funciones, tal que:

Si se utiliza esta definición, se pueden hallar ciertas simplificaciones que son útiles en el análisis de circuitos, pues la...