Circuitos electricos y ecuaciones diferenciales



La importancia de las EDO en la física electromagnética.





Introducción

El cálculo de las corrientes eléctricas en una red resistiva, es un proceso físico que se estudia mucho en la teoría electromagnética, y cuando se trata de circuitos simples, o sea que solo contienen mallas y resistencias, resulta fácil determinar el valor de su corriente, pero cuando tenemos circuitoscomplejos, que tienen ciertos almacenadores de energía como condensadores e inductores, esto se complica mucho, pues cada una de ellas se relaciona diferencialmente con la corriente y el voltaje del circuito. La resolución de estos complejos procedimientos matemáticos, se pueden resolver mediante ecuaciones diferenciales, que a veces puede contener integrales muy complejas de resolver, pero ya queun circuito es un procedimiento físico, hay ciertos factores que son conocidos y se pueden tomar como condiciones iniciales o valores de frontera, los que acercan la realización del cálculo al método de Transformada de Laplace.
Esta importante aplicación de la Transformada de Laplace, permite hallar propiedades que son muy importantes para el desarrollo de complejos procesos en la ingeniería.Notar que la corriente y el voltaje dependen del tiempo, por lo tanto son variables llamadas "temporales", los cuales se pueden medir en un instante de tiempo especifico mediante herramientas eléctricas, o también se puede llevar a cabo una aproximación física de los procesos que se intentan medir y es eso lo que se hace con una modelación matemática del problema, con la finalidad de predecirciertos factores que afecten a un problema de la ingeniería.
En este caso se desarrollará una ecuación diferencial no homogénea de coeficientes constantes para la carga de un condensador en un circuito que contiene procesos de capacitancia y de inductancia, teniendo valores iniciales acerca del modelo físico, por lo tanto el procedimiento se puede realizar por medio de la transformada de laplace o pormedio del proceso de variación de parámetros.
A continuación se muestra la formula que permite determinar la carga instantánea de un condensador en el circuito anteriormente mencionado:


En dónde L indica el valor de la inductancia de un inductor medida en Henry, R indica el valor de la resistencia medida en Ohm, C muestra el valor de la capacitancia del condensador y por ultimo V(t) muestrala diferencia de potencial entregada por la batería del circuito en cuestión, con estos valores mostrados como condiciones iniciales, es posible obtener el valor de la carga q(t), que depende de cierto instante de tiempo, donde además hay que notar si el condensador contiene o no alguna carga inicial, que se tomara como la condición de q en el tiempo t=0.
Objetivo

El objetivo principal delproyecto es comparar la factibilidad de la determinación del proceso de carga de un condensador mediante dos métodos distintos, la Transformada de Laplace y la Variación de Parámetros, a modo de determinar cual proceso es más eficiente matemáticamente.

Planteamiento

En la física electromagnética existen muchos tipos de circuitos eléctricos, entre ellos los conectados a Capacitores e inductorespor medio de mallas y nodos, en las cuales se pueden determinar ciertas variables por medio de las leyes de Kirchhoff, pero al momento de llegar a la formula empírica que mide la carga instantánea q(t) del capacitor, se pone en el camino una piedra de tope muy compleja para resolver, las ecuaciones integro diferenciales que al dejarlas todas dependiendo de una sola variable, en este caso la carga,se concluye en una ecuación diferencial de segundo orden, que depende del tiempo t, en donde se transcurre la carga del condensador.
Este proceso tiene implícito un proceso adyacente, que es el cálculo de la corriente eléctrica i(t), que pasa por el circuito y es este factor el que se quiere determinar, debido a que con este importante resultado, se puede conocer la corriente eléctrica...