circuitos electricos

INTRODUCCIÓN
En el capitulo anterior se examinaron dos elementos almacenadores de energía
eléctrica, el inductor y el capacitor en este capítulo se examina el comportamiento de
estos en circuitos simples formados por un elemento almacenador y una o varias
resistencias. Estos circuitos ocasionan respuestas diferentes según el elemento que se
incluya, por esta razón dentro de este capítulo, seencuentran en forma separada, la
representación de estas respuestas.

Esta respuesta esta dada por una ecuación diferencial lineal de primer orden. En este
caso se desconectan todas las fuentes independientes, la respuesta de este tipo de
circuitos se conoce como respuesta natural, al depender sólo de sus elementos. Para
encontrar la solución de una ecuación diferencial de primer orden, sepuede usar varios
métodos como el de separación de variables o suponer una solución exponencial. Si un
circuito no tiene fuentes independientes, pero incluye fuentes dependientes, este se ve
afectado por estas, por lo tanto se deben tener en cuenta a la hora de encontrar la
respuesta natural del circuito.

6.1 CIRCUITO RL SENCILLO

En este caso se tiene un circuito con una fuenteindependiente conectada a una
resistencia y una inductancia en serie junto con otra en paralelo, después de un tiempo
se desconecta la fuente, la inductancia con una resistencia en serie, forman un nuevo
circuito, el cual se va a estudiar, como se observa en la figura 6.1.1.
El accionamiento del interruptor es en un tiempo ínfimo y se descarta cualquier pérdida
de energía por parte de este.
Para uncircuito como el que se observa en la figura 6.1.1b, la ecuación de la respuesta
natural se describe a continuación:
Se plantea la LKV alrededor de la malla, obteniendo:

6.2 CIRCUITO RC SENCILLO

Para un circuito como el mostrado en la figura 6.2.1, al accionar el interruptor el
circuito resultante, es un capacitor con una resistencia en paralelo.

Al aplicar LCK :

Teniendo en cuentala convención pasiva de signos , para cada término se tiene:

Combinando estas dos ecuaciones:

Las ecuaciones resultantes de los circuitos RC y RL figura 6.2.2 son:

Son ecuaciones diferenciales de primer orden, con coeficientes constantes y su forma
general es:

Donde:

Para solucionar este tipo de ecuaciones se plantean diferentes métodos de solución de
los cuales se presentantres:
• Método 1. Separación de variables sección 6.3
• Método 2. Exponencial sección 6.4
• Método 3 Operadores Diferenciales sección 6.5
Utilizando cualquiera de los métodos mencionados la solución es de la forma:

Solución de la ecuación del circuito RC

Solución de la ecuación del circuito RL

6.3 SEPARACIÓN DE VARIABLES
Se tiene la ecuación:

Se separan las variables y se escribe:Al integrar ambos lados de la ecuación:

Donde K es una constante resultante de la integración, que debe satisfacer la condición
inicial; para el caso del circuito RC, se tiene:

Hay que tener en cuenta, que la condición inicial es justo un instante después de abrir
el interruptor y en este momento el voltaje, al cual está cargado el capacitor es igual al
voltaje de la fuente que sedesconecto, entonces:

Sustituyendo esto en la ecuación de la solución se tiene:

Como:

entonces al aplicar la función exponencial a ambos lados de la ecuación:

Así Vc se describe en la ecuación anterior, para el circuito RC, donde el voltaje inicial
es vS.
Para el circuito RL, se desarrolla de manera similar y se obtiene como resultado:

Donde IS, es la corriente inicial.

6.4 MÉTODOEXPONENCIAL
Se tiene la ecuación:

Se parte del supuesto, que su solución en forma exponencial es:

Donde A y s, son constantes a encontrar, para esto, sustituyendo la solución en la
ecuación diferencial :

En este punto la solución es
, la segunda opción no puede ser igual a
cero porque se obtendría una solución trivial, para todo t, así:

Sustituyendo en la solución exponencial:...