Circuitos En Estado Transiente

Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica

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CAPÍTULO 4 EL CIRCUITO EN ESTADO TRANSIENTE

Profesor: Jorge Gavilán León

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EL CONDENSADOR
Relaciones diferenciales e integrales de tensión-corriente La relación tensión corriente es Despejando v

i
t t0

C

dv dt

v( t )

1 Ci( t' ) dt' v( t0 )

Que puede escribirse como una integral indefinida, más una constante de integración: 1

v( t )

C

i dt k

En muchos problemas reales no es posible distinguir v(t0), la tensión inicial en el capacitor. En tales casos, desde el punto de vista matemático será conveniente establecer t0 = - ∞ y v( - ∞ ) = 0, por lo que: 1 t v( t ) i dt' C Puesto que la integral de lacorriente en cualquier intervalo de tiempo es la carga acumulada en ese periodo sobre la placa del capacitor hacia la cual fluye la corriente, también se definiría la capacitancia como: q(t) = C v(t) donde q(t) y v(t) representan los valores instantáneos de la carga sobre cualquiera de las placas y la tensión entre ellas EJEMPLO Determine la tensión de la capacidad que está asociada con lacorriente indicada en forma gráfica en la figura.

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Al interpretar la ecuación en forma gráfica, sabemos que la diferencia entre los valores de la tensión en t y t0 es proporcional al área bajo la curva de corriente entre estos mismos dos valores del tiempo. La constante de proporcionalidad es1/C.
v( t ) 1 C
t t0

i ( t' ) dt' v( t0 )

El área de la figura a se obtiene por inspección para los valores deseados de t0 y t ANALITICAMENTE La integral de la corriente entre t0 = - ∞ y 0, es cero, puesto que i = 0 en ese intervalo. v(t) = 0 + v( - ∞) -∞ ≤t≤0 o v(t) = 0 t≤0

Si consideramos ahora el intervalo de tiempo representado por el pulso rectangular, obtenemos: t 1 v( t ) 20 10 3dt' v( 0 ) 6 0 5 10 Puesto que v(0) = 0 v(t) = 4000 t 0 ≤ t ≤ 2 ms En el intervalo semi-infinito que sigue al pulso, la integral i(t) es otra vez cero, de modo que: v(t)= 8 t ≥ 2 ms

Almacenamiento de energía La potencia entregada a una capacidad está dada por

p

vi

Cv

dv dt

y la energía almacenada en su campo eléctrico es entonces
t t0

p dt

C

t t0

v

dv dt dt

Cv( t ) v ( t0 )

v dv

1 C {[ v( t )] 2 2

[ v( t0 )] 2 }

por lo que

wC ( t ) wC ( t0 )

1 C {[ v( t )] 2 2

[ v( t0 )] 2 }

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donde la energía almacenada vale wC(t0) en joules (J) y la tensión en t0 es v(t0). Si elegimos una referencia de energía cero en t0 quedaimplícito que la tensión de la capacidad es también cero en ese instante, entonces:
wC ( t ) 1 C v2 2

EJEMPLO Calcule la energía máxima almacenada en la capacidad de la figura y la energía que se disipa en la resistencia en el intervalo 0 < t < 0.5 seg.

RESPUESTA La energía almacenada en el capacitor es simplemente:
wC ( t ) 1 C v2 2 0 ,1 sen2 2 t J

En la figura se aprecia que WCmax = 100 mJen t = 1/4 s, La corriente iR es
iR v R 10 4 sen 2 t A

y la energía disipada en la resistor entre 0 y 0.5 seg. es
wR
0 ,5 0

pR dt

0.5 0

10 2 sen2 2 t dt

J

wR = 2.5 mJ.
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Una energía igual a 2.5% de la máxima energía almacenada (100 mJ) se perdió en el proceso dealmacenamiento y remoción de energía en el capacitor real, debido a su resistencia finita. El capacitor ideal nunca disipa energía, sólo la almacena. Si bien esto es cierto para el modelo matemático, no lo es para un capacitor físico real. Características importantes de una capacidad ideal 1. No hay corriente a través de una capacidad si la tensión en él no cambia con el tiempo. Por tanto, una...