circuitos II
Ejemplo 1. Halle la representación en serie trigonométrica de Fourier para la siguiente
señal f ( t ) = e −t , 0 ≤ t ≤ 1 , mostrada en la figura.
SOLUCION.
La señal es f ( t ) = e −t
, 0 ≤ t ≤ 1 , y para este ejemplo: T0 = 1 y ω0 = 2π .
Primero calcularemos los coeficientes an, de la fórmula tenemos que:
2
an =
T0
t +T0
∫ f ( t ) cosnω t dt
0
t
1
Entonces:
an = 2∫ e −t cos 2nπ t dt
0
Por tablas de integrales:
au
∫ e cos bu du =
eau
( a cos bu + b sen bu )
a 2 + b2
Realizando las sustituciones: a = −1 y b = 2nπ , se tendrá que:
an =
1
2 e−t
− cos 2nπ t + 2nπ sen 2nπ t ) 0
2 2 (
1 + 4n π
Evaluando límites:
an =
2
1 + 4n 2π 2
(
⎡ e−1 − cos 2nπ
⎢
⎣
=1
an =
De talforma que:
+ 2nπ sen 2nπ
=0
) − e ( − cos(0)
0
=1
+ 2nπ sen(0)
=0
)⎤⎥⎦
2
(1 − e−1 ) ∀n.
1 + 4n 2π 2
Ahora calcularemos el coeficiente independiente a0. A partir de la fórmula:
a0 =
1
T0
t +T0
∫ f ( t ) dt
t
1
1
a0 = ∫ e −t dt = − e −t = − e −1 + e0
0
0
⇒
a0 = 1 − e−1 ≅ 1.264
Concluimos calculando los coeficientes bn:
2
bn =
T0
Portablas de integrales:
t +T0
∫ f ( t ) sen nω t dt
0
t
au
∫ e sen bu du =
eau
( a sen bu − b cos bu )
a 2 + b2
Sustituyendo a = −1 y b = 2nπ , se tendrá entonces:
bn =
2
1 + 4n 2π 2
1
2 e−t
bn =
− sen 2nπ t − 2nπ cos 2nπ t ) 0
2 2 (
1 + 4n π
(
⎡e −1 − sen 2nπ
⎢
⎣
=0
− 2nπ cos 2nπ
=1
) − e ( − sen(0)
0
bn =
⇒
2
⎡ −2nπ e −1 + 2nπ ⎤
2 2⎣
⎦
1 + 4n π
bn =
4nπ
(1 − e−1 ) ∀n.
1 + 4n 2π 2
=0
− 2nπ cos(0)
=1
)⎤⎥⎦
Finalmente, la representación en serie trigonométrica de Fourier para la señal f ( t )
será:
f ( t ) ≅ 1.264 +
∞
⎡
∑ ⎢1 + 4n π (1 − e ) cos 2nπ t
⎣
n =1
2
−1
2
2
+
4nπ
⎤
1 − e −1 ) sen 2nπ t ⎥
2 2 (
1 + 4n π
⎦
Ejemplo 2. Halle la representación en serietrigonométrica de Fourier para la siguiente
señal f ( t ) = t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 , mostrada en la figura.
SOLUCION.
La señal es f ( t ) = t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 , y para este ejemplo: T0 = 1 y ω0 = 2π .
Primero calcularemos los coeficientes an.
De la fórmula tenemos que:
t +T
2 0
an =
f ( t ) cos nω0t dt
T0 ∫
t
1
an = 2∫ t 2 cos 2nπ t dt
0
u = t2
Utilizando integración por partes:
⇒ du =2t dt
1
dv = cos 2nπ t dt ⇒ v =
sen 2nπ t
2nπ
1
1
⎡ 1 2
⎤
2
an = 2 ⎢
t sen 2nπ t −
t sen 2nπ t dt ⎥
2nπ ∫
⎢ 2nπ
⎥
0
0
⎣
⎦
1
1
1
⎤
1 2
2 ⎡
1
1
an =
t sen 2nπ t −
t cos 2nπ t +
cos 2nπ t dt ⎥
⎢−
nπ
nπ ⎢ 2nπ
2nπ ∫
⎥
0
0
0
⎣
⎦
1
1
1
⎤
1 2
2 ⎡
1
1
an =
t sen 2nπ t −
t cos 2nπ t + 2 2 sen 2nπ t ⎥
⎢−
nπ
nπ ⎢ 2nπ
4n π
0
0
0⎥
⎣
⎦
1
1
11 2
1
1
an =
t sen 2nπ t + 2 2 t cos 2nπ t − 3 3 sen 2nπ t
2n π
nπ
nπ
0
0
0
1 ⎡ 2
(1) sen 2nπ
⎣
nπ ⎢
an =
−
⇒
an =
1
2n3π 3
1
n π2
2
⎡ sen 2nπ
⎢
⎣
=0
=0
1
− 0 ⎤ + 2 2 ⎡(1) cos 2nπ
⎥ nπ ⎢
⎦
⎣
=0
− sen ( 0 ) ⎤
⎥
⎦
∀n ≠ 0.
Calculando el coeficiente a0 :
a0 =
1
T0
t +T0
∫ f ( t ) dt
t
1
1 1 1
a0 = ∫ t 2 dt = t 3 = (1− 0 )
3 0 3
0
⇒
a0 =
1
3
2
Calculando el coeficiente bn: bn =
T0
t +T0
∫ f ( t ) sen nω t dt
0
t
1
bn = 2∫ t 2 sen 2nπ t dt
0
Aplicando integración por partes:
u = t2
⇒ du = 2t dt
1
cos 2nπ t
2nπ
1
1
⎡ 1 2
⎤
1
bn = 2 ⎢ −
t cos 2nπ t +
∫ 2t cos 2nπ t dt ⎥
2nπ 0
⎢ 2nπ
⎥
0
⎣
⎦
dv = sen 2nπ t dt ⇒ v = −
=1
− 0⎤
⎥
⎦
1
1
1 22
bn = −
t cos 2nπ t +
t cos 2nπ t dt
nπ
nπ ∫
0
0
Volviendo aplicar integración por partes:
u = t ⇒ du = t dt
1
dv = cos 2nπ t dt ⇒ v =
sen 2nπ t
2nπ
Realizando las operaciones correspondientes:
1
1
⎡ 1
⎤
1
t sen 2nπ t −
sen 2nπ t dt ⎥
⎢
2nπ ∫
⎢ 2nπ
⎥
0
0
⎣
⎦
1
1
⎤
2 ⎡ 1
1
1
t sen 2nπ t +
cos 2nπ t ⎥
+
⋅
⎢
nπ ⎢ 2nπ
2nπ 2nπ
0
0⎥
⎣
⎦
1
1 2
2...
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