Circuitos rc

Circuitos RC
La figura ilustra un ejemplo de un circuito resistor-capacitor, o circuito RC. En
la parte a del dibujo un interruptor completa el circuito en el punto A, de modo
que la bateria puede cargar las placas del capacitor. Cuando el interruptor esta
cerrado, el capacitor no se carga de inmediato . En vez de lo anterior , la carga
llega gradualmente a su valor de equilibrio de q= CVo, endonde Vo es la tension
de la bateria.
Carga de un capacitor
Si cargamos al capacitor de la figura siguiente al poner el interruptor Sen la
posicion a. ! Que corriente se crea en el circuito cerrado resultante?, aplicando el
principio de conservacion de energia tenemos:
En el tiempo dt una carga dq (=i dt) pasa a traves de cualquier seccion
transversal del circuito. El trabajo ( = Є dq) efectuado porla fem debe ser igual a
la energнa interna ( i2 Rdt) producida en el resistor durante el tiempo dt, mas el
incremento dU en la cantidad de energia U (=q2/2C) que esta almacenada en el
capacitor. La conservacion de la energia da:
Є dq = i2 Rdt + q2/2C
Є dq = i2 Rdt + q/c dq
Al dividir entre dt se tiene:
Є dq / dt = i2 Rdt + q/c dq/dt
Puesto que q es la carga en la placa superior, la i positivasignifica dq/dt
positiva. Con i = dq/dt, esta ecuacion se convierte en
:
Є = i Rdt + q/c
La ecuacion se deduce tambien del teorema del circuito cerrado, comodebe ser
puesto que el teorema del circuito cerrado se obtuvo a partir del principio de
conservacion de energia . Comenzando desde el punto xy rodeando al circuito
en el sentido de las manecillas del reloj, experimenta un aumento en potencial,
alpasar por la fuentge fem y una disminucion al pasar por el resistor y el
capacitor , o sea :
Є -i R - q/c = 0
La cual es identica a la ecuacion Є = i Rdt + q/c sustituimos primero por i por
dq/dt, lo cual da:
Є = R dq / dt + q/c
Podemos reescribir esta ecuacion asi:
dq / q - Є C = - dt / RC
Si se integra este resultado para el caso en que q = 0 en t= 0, obtenemos:
(despejando q),
q= C Є ( 1 –e-t/RC)
Se puede comprobar que esta funcion q (t) es realmente una solucion de la
ecuacion
Є = R dq / dt + q/c , sustituyendol en dicha ecuaciуn y viendo si reobtiene una
identidad. Al derivar la ecuacion q= C Є ( 1 – e-t/RC) con respecto al tiempo da:
i = dq = Є e-t/RC
dt R
En las ecuaciones q= C Є ( 1 – e-t/RC) y i = dq = Є e-t/RC la cantidad RC tiene
dt R
las dimensiones de tiempo porque elexponente debe ser adimensional y se
llama constantecapacitiva de tiempo τ C del circuito
τ C = RC
Es el tiempio en que ha aumentado la carga en el capacitor en un factor 1- e-1
(~63%) de su valor final C Є , Para demostrar esto ponemos t = τ C = RC en la
ecuacion q= C Є ( 1 – e-t/RC) para obtener:
q= C Є ( 1 – e-1) = 0.63 C Є
Grafica para el circuito
Corriente i y carga del capacitor q. La corrienteinicial es Io y la carga inicial en
el capacitor es cero. La corriente se aproxima asintoticamente a cero y la carga
del capacitor tiende asintoticamente a su valor final Qf.
Grafica para los valores Є= 10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F
Esta figura en la parte a muestra que si un circuito se incluye una resistencia
junto con un capacitor que esta siendo cargado, el aumento de carga en el
capacitor hacia suvalor limite se retrasa durante su tiempo caracterizado por la
constante de tiempo RC. Si un resistor presente (RC=0), la carga llegaria
inmediatamente hacia su valor limite.
Tambien en la parte a como se indica por la diferencia de potencial Vc, la carga
aumente con el tiempo durante el proceso de carga y Vc tienede la valor de la
fem Є.
El tiempo se mide en el momento en que el interruptoresconecta en a para t= 0.
En la parte b de la figura La diferencia de potencial en el resistor disminuye con
el tiempo, tendiendo a 0 en tiempos posteriores poruqe la corriente cae a cero
una vez que el capacitor esta totalmente cargado. Las curvas esta dibujadas para
el caso Є=
10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F. Los triangulos negros representan las constantes de
tiempos sucesivas.
Constante de tiempo...