Circuitos RL y RC
8.1.
INTRODUCCIÓN
Figura 8-1
La Figura 8-1 muestra un circuito típico RC en serie en el cual, como se verá a
continuación, las ecuaciones para este circuito son ecuaciones diferenciales de
primer orden, por lo cual a este tipo de circuitos se les denomina también circuitos
de primer orden. Esto obedece al hecho de que la corriente en una capacitancia
estárelacionada con su voltaje por la expresión iC (t ) = C ⋅ dvC (t ) / dt . Lo mismo
ocurre
con
el
caso
de
una
inductancia
en
la
cual
se
tiene
que
v L (t ) = L ⋅ di L (t ) / dt .
Los cálculos realizados en este capítulo para capacitancias son similares para el
caso de las inductancias, por lo cual se dejan al estudiante como ejercicio. Lo
mismo podemos decir en el caso de conexiones RCen paralelo.
8.2.
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN CIRCUITO SERIE RC
Vamos a encontrar la ecuación diferencial del voltaje de la capacitancia del circuito
de la Figura 8-1. Teniendo en cuenta que la corriente por la resistencia y la
capacitancia son iguales i R = iC y que iC (t ) = C ⋅ dvC (t ) / dt , la aplicación de
KVL para el circuito nos da:
vin (t ) = iR ⋅ R + vC (t ) = iC ⋅ R + vC (t ) = CAntonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
dvC (t )
⋅ R + vC (t )
dt
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8. CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN RL Y RC
dvC (t )
+ vC (t ) = vin (t )
dt
dvC (t ) 1
1
+
vC (t ) =
vin (t )
dt
RC
RC
RC
Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales es necesario conocer algunas
condiciones iniciales del sistema. En el caso del voltaje en la capacitancia se debe
conocer el valor del voltajevc (t0 ) en la capacitancia para un tiempo dado t 0 :
vc (t 0 ) = vC 0
Dado que este tipo de sistemas se ve afectado por las condiciones iniciales antes y
después de la estimulación del sistema en t 0 , es indispensable conocer las
condiciones en t0− y t0+ , en donde el signo (–) aplica al instante de tiempo antes de
la estimulación y el signo (+) al instante de tiempo después de laestimulación.
Como sabemos que una capacitancia se opone a los cambios de voltaje en ella,
por cual el voltaje es continuo. De manera que se debe tener que:
( )
( )
vc t 0+ = vc t 0− = vC 0
mientras que lo mismo no es necesariamente válido para la corriente, que suele
ser discontinua.
8.3.
OPERADOR D
El operador D es una transformación de las ecuaciones diferenciales en el tiempo a
un espacio en esteoperador. Esta transformación se hace con esta relación:
D=
d
dt
El operador D tiene varias aplicaciones:
• Permite simplificar las ecuaciones diferenciales y facilita su cálculo.
• Permite expresar las relaciones entre voltaje y corriente en inductancias y
capacitancias por una impedancia equivalente Z(D) como lo muestra la Tabla
8-1. Con estos valores es posible reemplazar el circuito originalpor un modelo
de impedancias sobre el cual se pueden calcular todas las variables deseadas
en términos del operador D de la misma forma que se realizaba para circuitos
puramente resistivos, y de allí pasar a la ecuación diferencial en el tiempo.
• Permite calcular impedancias equivalentes (con múltiples resistencias,
inductancias y capacitancias) a partir del cálculo de impedancias equivalentesserie, paralelo o de conversiones delta-estrella.
• Permite calcular impedancias de entrada a partir de la relación de voltaje sobre
corriente en términos del operador Zin(D)=Vin(D)/Iin(D).
• Permite calcular funciones de transferencia H(D) en términos del operador.
Estas funciones de transferencia son relación de tipo entrada/salida de
cualquier par de variables de voltaje y/o corriente entrecualquier parte del
circuito (las dos variables definidas en un mismo elemento o en elementos
diferentes).
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Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
8.3. OPERADOR D
Tabla 8-1.
Elemento
Relación v-i en el Relación v-i con
Impedancia
tiempo
operador D
Inductancia
v L (t ) = L
di L (t )
dt
vL
= LD
iL
Z L = LD
Capacitancia
iC (t ) = C
dvC (t )
dt
vC
1
=
iC CD
ZC =...
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