Circuitos

CAPITULO 8
RESOLUCION DE CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN EN EL DOMINIO DEL TIEMPO.

8.1.- Análisis de las redes simples de segundo orden. 8.2.- Diferentes tipos de respuesta.

BIBLIOGRAFIA:
[1] [2] [3] Cap 9: Respuesta natural y a un escalón de los circuitos RLC Cap 9: Second Order Linear Circuirts. Cap 8: Circuito RLC

n este capítulo , la discusión se centrará en redes RLC paralelo o serie.Tal como en los circuitos de primer orden, el análisis de este tipo de circuitos se dividirá en dos tiempos: un período transitorio durante el cual la energía de los almacenadores estará redistribuyendose y un período estacionario donde se alcanza nuevamente el equilibrio y cuya forma dependerá de los estímulos aplicados. El objetivo del análisis de estos circuitos es el siguiente: - en circuitosparalelos, la tarea reside en determinar el voltaje de sus elementos, después de que una modificación del circuito libere energías almacenadas inicialmente en el condensador o la bobina, siempre teniendo presente que la corriente inicial que circule por la bobina y el voltaje inicial que posea el condensador representan las energías iniciales almacenadas en estos elementos. - en el circuito seriela tarea es determinar la corriente que circula por el circuito una vez producida la conmutación, y de la misma forma que para el circuito paralelo, ésta va depender de la energía inicial almacenada.

E

TEORIA DE REDES I.- 147

Capítulo 8: Resolución de Circuitos de Segundo Orden.

8.1.- Análisis de las redes simples de segundo orden.
Analizaremos primero la respuesta del circuito RLCparalelo. - Respuesta del circuito RLC paralelo.

i

C

L

R

t=0

A partir de plantear la primera ley de Kirchhoff en el circuito anterior y conociendo las relaciones corriente voltaje en los terminales de los elementos se obtiene la siguiente ecuación: t v 1 dv (1) + ∫ vdt + C =i R L0 dt En una primera aproximación analizaremos la respuesta libre del circuito RLC paralelo, o seacuando no existen fuentes forzantes, lo que corresponde a resolver la ecuación homogénea obtenida de la ecuación (1): Derivando la ecuación anterior se obtiene: 1 dv v d 2v + +C 2 = 0 R dt L dt Dividiendo la ecuación anterior por C, se obtiene: v d 2v 1 dv + + =0 (2) 2 RC dt LC dt Esta ecuación se denomina: ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, y su orden vienedado por la cantidad de elementos que almacenan energía. La solución general de este tipo de ecuaciones es: donde A y λ son constantes desconocidas. v = Ae λt

La ecuación característica es entonces la siguiente: 1 1 =0 λ2 + λ+ RC LC Se obtienen las siguientes raíces: 1 1 2 1 + ( λ1 = − ) − LC 2 RC 2 RC

λ2 = −

1 1 2 1 − ( ) − 2 RC 2 RC LC

TEORIA DE REDES I.-148

Capítulo 8: Resoluciónde Circuitos de Segundo Orden.

Se puede demostrar que la solución de la ecuación diferencial planteada en (2) queda:

v = A1e λ1t + A2 e λ 2t .
donde las raíces de la ecuación característica están determinadas por los parámetros del circuito, o sea las R, L y C. Las condiciones iniciales del circuito permiten determinar los valores de A1 y A2 que son las constantes de integración. Como elcomportamiento del voltaje depende de las raices λ1 y λ2, es necesario hallarlas y para esto se utiliza la siguiente notación:

λ1 = −α + α 2 − ω o 2
donde:

λ1 = −α − α 2 − ω o2

1 1 , ω0 = y ω d = ω 02 − α 2 2 RC LC α es el factor de amortiguamiento del circuito. Mide la rapidez de variación de la curva de respuesta. ωo: es la frecuencia angular de las oscilaciones libres del circuito sinpérdidas. ωd: es la frecuencia de desviación de la respuesta.

α=

Más adelante veremos cómo varía la expresión de la respuesta según los valores que tomen los parámetros anteriores.

Para hallar la respuesta completa, es necesario analizar la parte forzada de la ecuación, o sea resolver la ecuación particular que se obtiene de la ecuación (1). La respuesta forzada depende de las fuentes...