circuitos

3.-Ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes
Como hemos podido ver en los ejemplos anteriores, para la descripción de la evolución de las
variables circuitales tensión y corriente a lo largo del tiempo, es necesario recurrir a la utilización
de ecuaciones diferenciales de primer orden. Si además de condensadores y resistores utilizamos
bobinas necesitaremos ecuacionesdiferenciales de segundo orden. Así pues antes de continuar
es necesario explicar la resolución de las ecuaciones diferenciales.
Una ecuación diferencial de grado n se puede expresar de forma general como:
Donde a0, a1, an-1, an son coeficientes constantes.
(27)

La solución general de la ecuación se puede descomponer en dos términos de la forma
v(t) = vH (t) + vP (t).
vH (t) - Solucióngeneral de la ecuación homogénea, se obtiene cuando f(t) = 0.
vP (t) - Solución particular de la ecuación completa.

16

3.1.-Solución de la ecuación homogénea.
La ecuación homogénea se obtiene igualando f(t) = 0 con lo que queda la ecuación diferencial
de la siguiente manera.

(28)

Para calcular v(t) recurrimos a la denominada ecuación característica, consiste en un polinomio
del mismoorden de la ecuación diferencial y cuyos coeficientes son los mismos que los de la
ecuación diferencial (27).
(29)

Es necesario hallar las raíces de la ecuación característica, se pueden dar varios casos.
1- La ecuación posee raíces simples r1, r2, ... rn donde ri … rj para todo i … j.
En este caso la solución general adopta la forma:

(30)

2- La ecuación posee raíces múltiples r1=r2=r3...=rm, rm+1, ... rn donde m T. Para el tiempo 0< t< T es
idéntico al caso anterior con lo que ecuación queda:

(96)

30

Nos queda estudiar el caso para t > T

Figura 20
(97)

(98)

Condición inicial
(99)

(100)

(101)

- Función de excitación: Función sinusoidal.

Figura 21

31

Ecuación diferencial :

(102)
Al ser una ecuación diferencial de primer orden solonecesito una única condición inicial para
lo cual escogemos i(0) = 0.
(103)

Para el cálculo de la solución particular ponemos la excitación en forma exponencial.
(104)

(105)

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

(106)

(107)

(108)

32

(110)

(109)

(111)

(112)

(113)

2.- Circuito RC. (Figura 22).

Figura 22

33

- Función de excitación: Función escalón v(t)= Vcc u-1(t)
Para este caso la ecuación diferencial queda:
(114)

Esta ecuación la podemos reescribir en función de vc(t).
(115)

Al ser una ecuación diferencial de primer orden se necesita una única condición inicial para lo
cual escogemos vc(0) = 0 (la tensión no puede variar de forma brusca en un condensador).

(116)

Para el cálculo de la ecuación particular interpretamos que lafunción excitación es de tipo
polinómico con lo que:
(117)

(118)

Para el cálculo de la constante A aplicamos la condición inicial en el condensador
vc(0+) = vc(0-) = 0
(119)

(120)
34

(121)

En la fase inicial de carga el condensador equivale a un cortocircuito, conforme el condensador
se carga disminuye al corriente que circula por él, cuando el condensador esta completamentecargado equivale a un circuito abierto.
- Función de excitación: Función pulso.

Figura 23
Podemos dividir el tiempo en tres partes t < 0, 0 < t < T y t > T. Para el tiempo t > T es idéntico
al caso anterior con lo que ecuación queda:
(122)

Nos queda estudiar el caso para t > T

(123)

La condición inicial viene dada en la ecuación (124).
(124)
(125)

35

(126)

(127)

36

-Función de excitación: Función sinusoidal.

(128)

Al ser una ecuación diferencial de primer orden solo necesito una única condición inicial para
lo cual escogemos v(0) = 0.
(129)

Para el cálculo de la solución particular ponemos la excitación en forma exponencial.
La función de excitación tiene la forma de la ecuación
(130)
(131)
Sustituyendo en la ecuación diferencial:

(132)...