circuitos

Desarrollo del concepto matemático
El producto escalar.
El producto punto.
El producto interno.
En el cálculo vectorial el manejo de éste concepto es de vital importancia matemática.
Este concepto nos permite utilizarlo para resolver aplicaciones diversas tales como:
Descripción de la actividad
Producto escalar entre 2 vectores dados.
Los cosenos directores.
Los ángulosdirectores.
El valor del ángulo formado entre A y B.
Coordenadas equivalentes (CE).
Los valores de los ángulos; una vez encontrados las “CE”.
Definición.
El producto escalar puede ser definido como:
“El producto de los módulos de los 2 vectores dados y estos a su vez multiplicados por el coseno del ángulo θ formado entre ellos”.
La fórmula oficial
A • B = I A I I B I Cos θ
Donde: A • B =Producto escalar, I AI= Módulo vector A y I BI= Módulo vector B.
Cos θ = la función resultante es el Coseno, y θ el ángulo formado entre los vectores A y B.
Limitante
El ángulo θ tiene como valor máximo y mínimo:

Nota: el valor máximo θ =180°, no puede excederse en grados.

Propiedades que regulan la operatividad del producto escalar
Nº Descripcion de la propiedad
1 A • B = B • A Gozade la propiedad conmutativa
2 A •(B+C)=(A •B)+(A •C) Goza de la propiedad distributiva
3 m(A •B)=(ma)•B= (A •B) Siendo la letra “m” un escalar
4 i •i=j•j=k•k=1
i•j=j•k=k•i=0

5 Dados 2 vectores A y B:donde A=a1i+a2j+a3k
B=b1i+b2j+b3k
A •B= (a1i+a2j+a3k) •
(b1i+b2j+b3k)
A •B=a1b1+a2b2+a3b3
6 Si (A •B=0) y ninguno de los 2 vectores son nulos; esto quieredecir que los vectores A y B son perpendiculares.

Explicacion matemática de la propiedad nº 4
a) 4.1 i∙i=j∙j=k∙k=1
A∙B=|(A|B|)| cos⁡θ i∙i=(1)(1) cos⁡θ i∙i=(1)(1)(1)=1
j∙j=(1)(1)cos⁡〖θ=(1)(1)(1)〗 k.k=(1)(1)cos⁡〖θ=(1)(1)(1)=1〗















4.2 i∙j=j∙k=k∙i=0
i∙j=|i||j| cos⁡〖θ=(1)(1)cos⁡〖90°=〗 〗 (1)(1)(0)=0
j∙k=|j||k| cos⁡〖90°=(1)(1) cos⁡〖90°=(1)(1)(0)=0〗 〗
k∙i=|k||i| cos⁡θ=(1)(1) cos⁡〖90°=(1)(1)(0)=0〗
Ejercicios de aplicación del producto escalar usando sus propiedades
Ejemplo: proporcionados los 2 vectores:
A y B; donde sus componentes de c/u de ellos son las siguientes:
A=3i+4j+7k
B=-4i+5j+8k
Hallar: a)A∙B
b) |A|
c) |B|
d) Grafica del vector A
e)“ “ “ B
Explicacion:antes de resolver el problema dado
A=a1i+a2j+a3k 1.-las coordenadas del vector A
B=b1i+b2j+b3k 2.-las componentes del vector A
3.-los elementos “ “ A
4.-las ternas “ “ A

Propiedad Nº 5
A=a1i+a2j+a3k
B=b1i+b2j+b3K
A∙B=[(a1i+a2j+a3k)∙(b1i+b2j+b3k)] =a1b1+a2b2+a3b3
Solucion:a)A∙B=[(3i+4j+7k)∙(-4i+5j+8k)]=-12+20+56=64 unidades
b)|A|=√((〖3i)〗^2+(〖4j)〗^2+(〖7k)〗^(2 ) =√(9+16+49= 8.6023 unidades))
c)|B|=√((〖-4i)〗^2+(〖5j)〗^2+(〖8k)〗^(2 ) =√(16+25+64=10.24 unidades))
d) A=3i+4j+7k; graficarlo:








Tema: determinacion del valor del angulo formado entre 2 vectores dados
A∙B=|A||B| cos⁡θ 1.-las coordenadas del vector A
2.-las componentes del vector A
cos⁡θ (A∙B)/|A||B|3.-los elementos “ “ A
4.-las ternas “ “ A
Ejemplo dados los vectores A y B; donde las componentes de c/u de ellos son las siguientes:
A=2i+3j+k encontrar el valor del angulo θ
B= -i+5j+k
Solucion:
A∙B=[(2i)+3j+k)∙(-i+5j+k)]=-2+15+1=14
|A|=√((〖2i)〗^2+(〖3j)〗^2+(〖k)〗^2=√14)
|B|=√((〖-i)〗^2+(〖5j)〗^(2+) (〖k)〗^2=√27)
Reuno los resultadosencontrados
cos⁡θ=(A∙B)/|A||B| =14/(√14√27)=0.720083;θ=cos^(-1)⁡〖(0.720083)=43.93°〗

Proporcionados los vectores ABC y D; donde c/u de ellos tiene como coordenadas las siguientes:
A=3i+2j+5k
B=-4i+5j+3k
C=7i+2j-4k
D=5i+3j+6k
Encontrar:
El valor del angulo formado entre los vectores A y B
“ “ “ “ B y C
“...