circuitos

Circuitos acoplados
magnéticamente
Circuitos Eléctricos 2

Inductancia mutua
v t  L

Autoinductancia
M

i1

L1

L2

v2

di  t 
dt

M

v1

L1

L2

i2

La corriente i1 en L1 produce el voltaje de circuito abierto v2 en L2.
La corriente i2 en L2 produce el voltaje de circuito abierto v1 en L1.

v2  t  M 21

di1  t 
dt

v1  t  M 12

di2  t 
dtLa inductancia mutua se presenta cuando dos bobinas están lo suficientemente
cerca como para que el flujo magnético de una influya sobre la otra.

Convención de los puntos
Una corriente que entra por la terminal punteada de una bobina produce un voltaje
de circuito abierto entre las terminales de la segunda bobina, cuyo sentido es el de
la dirección indicada por una referencia devoltaje positiva en la terminal punteada
en esta segunda bobina.
M

i1

M

i1
+

L1

L2

v 2 M
_

+

di1
dt

L2

L1

L2

_

di1
dt

M
+

+

di
v2  M 1
dt

v2  M
_

i1

M

i1

L1

L1

L2

v 2 M
_

di1
dt

Voltaje mutuo
M

i1

Para frecuencia
compleja

i2

+

+
L1

v1
_

L2

v1 L1

di1
di
M 2
dt
dt

v2
_v2 L2

di2
di
M 1
dt
dt

V1 = –sL1I1 + sMI2
V2 = –sL2I2 + sMI1

Para estado senoidal

M

i1
_
v1
+

V1 = –jL1I1 + jMI2

i2
+

L1

L2

v2
_

v1  L1

di1
di
M 2
dt
dt

v2  L2

di2
di
M 1
dt
dt

V2 = –jL2I2 + jMI1

Estructura de bobinas acopladas
Flujos magnéticos aditivos

i1

Flujos magnéticos sustractivos

i1

i2

i2Ejemplo
1

M=9H
+

V1 = 10/_0°
 = 10 rad/s

_+

I1

I2
1H

100 H

V2
400 

_

I1(1 + j10) – j90I2 = 10
I2(400 + j1000) – j90I1 = 0

V2 400 0.1724  16.7 

6.90 16.7
V1
10

Gráfico de respuesta en frecuencia
V2
3600s
 2
V1 19s  500s  400

Ejemplo
1F

5

V1

_+

I1

I2
7H

I3
6H

M=2H

(5 + 7s)I1 – 9sI2 + 2sI3 = V1
– 9sI1 +(17s + 1/s) I2 – 8sI3 = 0
2sI1 – 8sI2 + (3 + 6s) I3 = 0

3

Consideraciones de energía
Poniendo en circuito abierto las terminales de la derecha y
haciendo crecer la corriente i1 desde 0 hasta I1 en t = t1.

v1i1 L1

di1
i1
dt

La energía almacenada es.
t1

I1

 v i dt  L i di
11

0

11

0

1

 12 L1 I12

Ahora haciendo crecer la corriente i2 desde 0 hastaI2 de t = t1
a t = t2. manteniendo i1 constante
La energía entregada del lado derecho es.
t2

I2

t1

0

2
1
v
i
dt

L
i
di

L
I
2
2
2
2
2
2
2
2



Sin embargo se entrega energía a la red del lado izquierdo.
t2
di2
t1 v1i1dt t1 M 12 dt i1dt M 12 I1 t1 di2 M 12 I1I 2
t2

t2

M

i1

i2

+
v1
_

+
L1

L2

v2
_

La energía total es.Wtotal  12 L1 I12  12 L2 I 22  M 12 I1 I 2
Haciendo el proceso inverso, se tiene

Wtotal  12 L1 I12  12 L2 I 22  M 21 I1 I 2
Por tanto

M M 12 M 21

Consideraciones de energía (cont)
El límite superior para el valor de M es

M  L1 L2
El Coeficiente de acoplamiento se define como

k

M
0 k 1
L1 L2

Ejemplo
Sea L1 = 0.4 H. L2 = 2.5 H, k = 0.6 e i1 = 4i2 = 20cos(500t – 20°) mA. Evalue las
siguientes cantidades en t = 0: a) i2, b) v1, y c) la energía total almacenada en el
sistema.
a) i2(0) = 20 cos(500(0) – 20°) mA = 4.698 mA
M

i1

i2

+
v1
_

b) Para v1 hay que evaluar
+

L1

L2

v2
_

v1 L1

di1
di
M 2
dt
dt

M = kL1L2 = 0.6 H
v1(0) = 0.4[–10 sen(–20°)] + 0.6[–2.5sen(–20°)] = 1.881 V

c) La energía es
w(t) =½L1[i1(t)]2 + ½L2[i2(t)]2 + M[i1(t)] [i2(t)]
w(0) = 0.4/2[18.79]2 + 2.5/2[4.698]2 + 0.6[i1(0)] [i2(0)]
w(0) = 151.2 J

El transformador lineal
En un transformador lineal el
coeficiente de acoplamiento es
de algunas décimas.
Transformador lineal con una
fuente en el primario y carga en
el secundario

M

R1

R2
+

Vs

_+

I1

Vs = I1Z11 – I2sM

L1

L2 I2

VL

ZL

_...