Circulacion y flujo

CAMPOS: CIRCULACIÓN Y FLUJO

Dado el vector a = ( x + y ) iˆ + xy ˆ calcular su circulación a lo largo de la recta y = x+1 desde
j
el punto A (0, 1) al B (1, 2).
Solución: I.T.I. 99, 05, I.T.T. 02
En la trayectoria que nos indican: y = x+1, dy = dx
B

∫

recta

1

1

A

0

0

 
a ⋅ dr = ∫ [(x + y ) dx + xy dy ] = ∫ [(2x + 1) dx + x ( x + 1) dx ] = ∫ ( x 2 + 3x + 1) dx =17
6


2 ˆ
Dado el vector v = ( x + y ) i + xy ˆ calcular su circulación a lo largo de la recta y = x+1 desde
j
el punto A (0, 1) al B (1, 2).

Solución: I.T.I. 04
En la trayectoria que nos indican: y = x+1, dy = dx
B

∫

recta

1

 
2
2
v ⋅ dr = ∫ ⎡( x + y ) dx + xy dy ⎤ = ∫ ⎡( 2x + 1) dx + x ( x + 1) dx ⎤ =
⎣
⎦
⎣
⎦
A

0


ˆ
Siendo A = (2y + 3) ˆ +xz ˆ + ( yz − x ) k hallar
i
j





∫ A ⋅ dr

1

∫ ( 5x

2

)

+ 5x + 1 dx =

0

a lo largo de las siguientes

C

trayectorias C:
a) x = 2t 2 , y = t, z = t 3 desde t = 0 hasta t = 1
b) La quebrada que une los puntos (0,0,0), (0,0,1), (0,1,1), (2,1,1)
c) La recta que une los puntos (0,0,0) y (2,1,1)
Solución: I.T.I. 95, 03, 06, I.T.T. 95, 03, 06, I.I. 94Independientemente de cual sea la trayectoria seguida, en cualquiera de los tres casos
tendremos que:
€
 
A ⋅ dr = ∫ [(2y + 3) dx + xzdy + ( yz − x ) dz] (1)
∫
C

C

Para cada caso en particular:
a) x = 2t 2 , dx = 4t dt, y = t, dy = dt, z = t 3 , dz = 3t 2 dt

Física

Tema

31
6

Página 1

  1
2 3
3
2
2
Sustituyendo en (1): ∫ A ⋅ dr = ∫ (2t + 3) 4t dt + 2t t dt + (t t − 2t) 3t dt =
C

0

[

]

288
35

b) En la línea que une los puntos (0,0,0), (0,0,1) tenemos que: x = y = 0, dx = dy = 0.

∫

Sustituyendo en (1):

( 0,0,0 ) →( 0,0,1)

  1
A ⋅ dr = ∫ 0 dz = 0
0

En la línea que une los puntos (0,0,1), (0,1,1) tenemos que: x = 0, z = 1, dx = dz = 0.

∫

Sustituyendo en (1):

( 0,0,1)→( 0,1,1)

  1
A ⋅ dr = ∫ 0 dy = 0
0

En lalínea que une los puntos (0,1,1), (2,1,1) tenemos que: y = z = 1, dy = dz = 0.

∫

Sustituyendo en (1):

( 0,1,1) →( 2,1,1)

  2
A ⋅ dr = ∫ 5dx = 10
0

Por lo tanto a lo largo de la trayectoria quebrada tendremos:

 
A ⋅ dr = 0 + 0 + 10 =
∫

10

C

c) En la línea que une los puntos (0,0,0), (2,1,1) tenemos que: x = 2t, y = z = t, dx = 2dt,
dy = dz = dt con t un parámetroque va de 0 a 1.

  1 2
Sustituyendo en (1): ∫ A ⋅ dr = ∫ (3t + 2t + 6) dt = 8
C

0

€

ˆ
Siendo A = (3x 2 + 6y ) ˆ − 14yz ˆ + 20xz 2 k hallar
i
j

 
A ⋅ dr a lo largo de las siguientes
∫
C

trayectorias C:
a) x = t, y = t 2 , z = t 3 desde t = 0 hasta t = 1
b) La quebrada que une los puntos (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)
c) La recta que une los puntos (0,0,0) y(1,1,1)
Solución: I.T.I. 96, 00, 01, 02, I.T.T. 96, 00, 04
Independientemente de cual sea la trayectoria seguida, en cualquiera de los tres casos
tendremos que:





∫ A ⋅ dr = ∫ [( 3x
C

2

+ 6y ) dx − 14 yzdy + 20xz 2 dz

C

]

(1)

Para cada caso en particular:

€
€
Física

Tema

Página 2

a) x = t, dx = dt, y = t 2 , dy = 2t dt, z = t 3 , dz = 3t 2 dt

  1
22
2 3
6
2
Sustituyendo en (1): ∫ A ⋅ dr = ∫ ( 3t + 6t ) dt − 14t t 2t dt + 20t t 3t dt =
C

0

[

]

5

b) En la línea que une los puntos (0,0,0), (1,0,0) tenemos que: y = z = 0, dy = dz = 0.
Sustituyendo en (1):

∫

( 0,0,0 ) →(1,0,0 )

  1
A ⋅ dr = ∫ 3x 2 dx = 1
0

En la línea que une los puntos (1,0,0), (1,1,0) tenemos que: x = 1, z = 0, dx = dz = 0.
Sustituyendoen (1):

∫

(1,0,0 )→(1,1,0 )

  1
A ⋅ dr = ∫ 0 dy = 0
0

En la línea que une los puntos (1,1,0), (1,1,1) tenemos que: x = y = 1, dx = dy = 0.
  1
20
Sustituyendo en (1):
∫ (1,1,1) A ⋅ dr = ∫0 20z2 dz = 3
(1,1,0) →

Por lo tanto a lo largo de la trayectoria quebrada tendremos:





∫ A ⋅ dr = 1 + 0 +
C

20
=
3

23
3

c) En la línea que une los puntos...