Circulo de mohr

ANÁLISIS BIDIMENSIONAL DE ESFUERZOS CIRCULO DE MOHR DE ESFUERZOS
A continuación se muestra el estado bidimensional de esfuerzos sobre un elemento de suelo: sz tzx
a

txz sx s: Esfuerzo normal t: Esfuerzo cortante tzx sz
b

sx txz
c

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Para analizar las condiciones de esfuerzos en el elemento, debe considerarse elequilibrio del triángulo abc: Resolviendo las fuerzas normales a ab: s
ab  l l   x l sin  sin    z l cos  cos    xz l sin  cos    zx l cos  sin  Pero :  xz   zx Luego :

a

sx txz
a c

t tzx sz
b

   x sin 2    z cos 2    xz sin 2

Resolviendo las fuerzas paralelas a ab:
ab  l

l   x l sin  cos    z l cos  sin    xz l sin  sin    zx l cos  cos    x   z sin  cos    xz cos 2

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Refiriendo las ecuaciones a sistema de planos principales:

a

sn q q
a

sx txz
c

tn
b

 x   1 Esfuerzo principal mayor  z   3 Esfuerzo principal menor   0; sin   cos( 90   )  cos  cos   sin( 90   )  sin  Luego :  n   1 cos 2    3 sin 2 

tzxsz

   x sin 2    z cos 2    xz sin 2

   x   z sin  cos    xz cos 2  n   1   3  cos sin 

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Las ecuaciones pueden transformarse teniendo en cuenta las siguientes expresiones trigonométricas:

sin 2  

1  cos 2 1  cos 2 ; cos 2   ; sin 2  2 sin  cos  2 2

Resultando:

1   31  3 n   cos 2 2 2 1  3 n  sin 2 2

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Escribiendo estas ecuaciones de otra manera:

1   3 1  3 n   cos 2 2 2 1  3 n  sin 2 2
Elevando ambas expresiones al cuadrado y sumándolas, resulta:

 X  X 0   Y  Y0 
2

2

2

 r 

2

Círculo de Mohr.

1   3   1   3  2  n  n    2  2   
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2

Lugar geométrico de los puntos que representan esfuerzos actuantes en un punto determinado P.

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Elevando ambas expresiones al cuadrado y sumándolas, resulta: Círculo de Mohr.

 3    3  2  n  1  n   1  2  2   
t
1   3 2
2q

2

2

Lugar geométrico delos puntos que representan esfuerzos actuantes en un punto determinado P.

1   3 2

tn

s

sn s3 s1

ANÁLISIS BIDIMENSIONAL DE ESFUERZOS TEORÍA DEL POLO
Cuando los esfuerzos principales no son horizontal y vertical, respectivamente (caso general), el círculo de Mohr puede servir para encontrar los esfuerzos actuantes en cualquier dirección y ligados a un punto considerado de la masadel suelo; siempre y cuando se conozcan las magnitudes y las direcciones de los esfuerzos principales: s1 s3 s1

s3

s3 s1 s3 s1

ANÁLISIS BIDIMENSIONAL DE ESFUERZOS TEORÍA DEL POLO
Sobre la circunferencia de todo círculo de Mohr existe un punto denominado polo que tiene una característica única: Una línea trazada a partir del polo paralela a un plano dado en el suelo cortará el círculo enun punto cuyas coordenadas corresponden a las componentes normal y cortante del esfuerzo en ese plano. t Paso 1: Se ubican los s1 esfuerzos principales y se
traza el círculo

s3

A

A’

s1 s3
Caso 1:Determinar los esfuerzos normal y cortante en el plano A-A’. Conociendo los esfuerzos principales

s3

s1

s

ANÁLISIS BIDIMENSIONAL DE ESFUERZOS TEORÍA DEL POLO
t s1
A Paso 2: Setraza desde el esfuerzo principal mayor una línea paralela al plano donde esta aplicado este esfuerzo.

s3

P

s
A’

s1 s3 s3 s1

P es el POLO

ANÁLISIS BIDIMENSIONAL DE ESFUERZOS TEORÍA DEL POLO
t s1
A Alternativa Paso 2: Se traza desde el esfuerzo principal menor una línea paralela al plano donde esta aplicado este esfuerzo. P

s3

s
A’

s1 s3 s3 s1

P es el POLO...