Circulo Y Circunferencia

Recordemos que:
S S S S

La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de un punto fijo llamado centro. El radio es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con cualquier punto sobre ella. La cuerda es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera sobre la circunferencia. Si la cuerda contiene el centro de la circunferencia, se llamadiámetro. Un arco es una parte continua de una circunferencia. Si una recta es tangente a una circunferencia, entonces, el radio trazado hasta el punto de tangencia es perpendicular a la línea tangente. La razón entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro es una constante llamada π ∈ I ., donde I es el conjunto de los números Irracionales. La longitud de una circunferencia (perímetro) esigual a
P = 2 πr 2 πr k r (h,k)

Considerando una circunferencia con centro en O = (0,0 ) y radio 1, un punto A = (x, y ) del plano se encuentra sobre la circunferencia si d (O,A) = 1, entonces por las propiedades del valor absoluto se tiene:
d (O , A ) = x −0 + y −0
2 2

=

x2 + y2

Por propiedades del

Valor Absoluto Como d (O,A) = 1 se tiene
1 = x +y
2 2 2

⇔

1= x + y
2

2Por lo tanto la ecuación de la circunferencia de radio 1 y centro en el origen es x 2 + y 2 = 1 . Esta circunferencia es llamada circunferencia unitaria Al analizar la gráfica de la circunferencia unitaria se puede observar:
S

La gráfica no es la representación de una función, ya que no cumple con la definición de ésta, es decir: a cada valor de x no le corresponde un único valor de y. Lacircunferencia es simétrica con respecto al origen, con respecto al eje y ,con respecto al eje x, y respecto a y = x . Se puede decir además que cualquier diámetro es un eje de simetría.
O = (0,0 ) ,

Ahora, que ocurre si lo que se tiene es una circunferencia con centro en es 1?

Repitiendo el proceso anterior se concluye que la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio r es:x 2 + y 2 = r2

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r h

es decir
y (0,1) A=( x, y ) d x (-1,0) O=(0,0) (1,0)

(0,–1)

pero su radio no

Si a partir de la circunferencia de radio r y con centro en el origen se efectúa una traslación de h unidades horizontalmente y k unidades verticalmente se obtiene la gráfica representada en la figura. Por lo tanto la ecuación de la nueva circunferencia es:

(x − h)2 +(y − k )2 = r 2
Esta ecuación es conocida como la ecuación canónica de la circunferencia..

Ejemplo 1
Determinar la ecuación de la circunferencia con centro ( −3 ; −2 ) y que pasa por el punto (0 ; 1)
T

Hallemos el radio de la circunferencia, para ello:
r =

(− 3 − 0 ) 2

+ ( − 2 − 1) 2 =

9+9 =

Luego la ecuación canónica de la circunferencia es ( x + 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 18 Altransformar algebraicamente la ecuación canónica se tiene:

(x − h )2 + (y − k )2
1 r
2

= r2

⇔

 y −k  x −h     r  + r    2k r
2

2

  =1   1 r
2

2

⇔

x 2 − 2 xh + h2 r2 1 r
2

x2 −

2h r
2

x+

h2 r
2

+

1 r
2

y2 −

y+

k2 r
2

−1= 0

⇔

x2 +

 1  2  1 x +    2  2  r r 

 2k   2  2h  h2 + k 2 − r 2 y +x +  − y +  − =0      r2  r2   r2   C x + D y + E =0

A x2 + A y2 +

La ecuación anterior es de la forma Ax 2 + Ay 2 + Cx + Dy + E = 0 con A ≠ 0 , la cual es llamada ecuación general de la circunferencia. Al transformar una ecuación de la forma Ax 2 + Ay 2 + Cx + Dy + E = 0 con A ≠ 0 mediante el proceso de completar cuadrados a su forma canónica puede dar lugar a una de las...