Circulos

CÍRCULOS

De acuerdo con lo anterior es necesario conocer las características de los puntos que se observan sobre los círculos dibujados. El punto “O” es el centro del círculo C1 y pertenece al círculo C3; al ubicar C1 en un plano cartesiano se ubicará su centro en el origen, es decir, en las coordenadas (0,0) para facilitar el análisis de los círculos.
El punto “P” es el centro del círculoC2 y se ubica sobre la recta que corta el círculo C3.
El punto “P´” es el punto de corte del círculo C3 y la recta que pasa por los puntos “0” y “P”.
El punto “A” pertenece a los círculos C1 y C2, por lo tanto los valores de la abscisa y ordena tendrán tomarán los mismos valores en la ecuación general del círculo C1 como del círculo C2; además de esto este punto es el centro del círculo C3.Como se está buscando la longitud del segmento OP' es necesario conocer la distancia entre los puntos O y P'
Como punto de partida se mantendrá un radio constantes de una unidad y se variará la distancia OP desde el valor de 2 unidades hasta el valor de 4 unidades.
Para determinar OP' se iniciará con el análisis de la ecuación general del círculo C1, teniendo presente que su centro está ubicado enel origen que tiene como coordenada (0,0) y un radio igual a la unidad r=1. Los valores de la coordenada corresponden a los parámetros h y k, respectivamente, en la ecuación general del círculo. Sustituyendo estos valores se tiene que:
x-h2+y-k2=r2
x-02+y-02=12
De donde se obtiene
x2+y2=1 (Ec. 1)
que corresponde a la ecuación general del círculo C1.
Para encontrar la ecuación generaldel círculo C2 se realiza el mismo procedimiento, pero es necesario encontrar la coordenada del punto P ya que es el centro de C2, y la longitud del radio r. El punto P que se encuentra ubicado sobre la recta que lo une con el punto O; por lo anterior se puede concluir que el punto P tendrá el mismo valor de la ordenada que el punto O que para este caso es cero (0). Para el valor de la abscisa esnecesario tener presente que esta varía en la misma magnitud que lo hace el segmento OP que para este caso es 2 unidades, que a su vez es el radio r del círculo C2.
Según lo mencionado en el párrafo anterior, el centro del círculo C2 estará ubicado en la coordenada (2,0) y estos serán los valores de h y k respectivamente. De esta manera, y aplicando el procedimiento empleado para hallar laEcuación 1, la ecuación del círculo C2 será:
x-22+y-02=22
x-22+y2=4 (Ec. 2)

Las ecuaciones 1 y 2 representan los círculos C1 y C2 ubicados en un plano cartesiano. De acuerdo con las condiciones dadas en el inicio de esta tarea de investigación, el círculo C3 tendrá como centro el punto A y como radio la longitud del segmento OA que corresponde al radio del círculo C1.
Para encontrar laecuación general del círculo C3 es necesario encontrar la coordenada del punto A; según se observa en el gráfico el punto A es la intersección entre los círculos C1 y C2, lo cual significa que los valores de las variables x y y son iguales en las ecuaciones 1 y 2.
Para encontrar estos valores es necesario resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones 1 y 2, que se muestra acontinuación:
x2+y2=1
x-22+y2=4
Al resolver este sistema, se encuentra que el valor de x corresponde a 14 de unidad y el valor de y a 154 de unidad. De esta manera se encuentra la coordenada del punto A que es el centro de C3. El valor del radio r es de 1 unidad puesto que es el mismo de C1 según las condiciones dadas. Los valores de x y y corresponden a los parámetros h y k de la ecuación general delcírculo; al realizar el procedimiento utilizado para determinar las ecuaciones 1 y 2 se encuentra que la ecuación del círculo C3 será:
h=14 k=154 r=1
x-142+y-1542=12
x-142+y-1542=1 (Ec. 3)
Con la ecuación 3 es posible encontrar el valor de la abscisa del punto P' puesto que este es el punto de corte del círculo con la recta que pasa por O y P. La recta OP tiene como ecuación y=0 por...