CIRCUNFERENCIA 1

CIRCUNFERENCIA
TEORÍA
PROPIEDADES – PROBLEMAS RESUELTOS

CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico
de un conjunto de infinitos puntos que
equidistan de un punto situado en el centro.

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
Flecha o
N
sagita
Q


Cuerda PQ
P

Recta
secante

M



Radio
A

B



Centro
Diámetro
( AB )

T


Punto de tangencia

Arco BQ

Recta
tangente

PROPIEDADES BÁSICAS EN LACIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia
perpendicular a la recta tangente.

L

R

R
R
L
L

es

02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda
la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
P

M

N
R

Q

R
R
PQ
PQ 
 PM
PM
MQ
MQ

03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes
entre las paralelas.
A

C

B

D

Si
Si:: AB
AB//// CD
CD 
 mAC
mAC 
mBD
mBD

04.- A cuerdascongruentes en una misma circunferencia
les corresponden arcos congruentes.
A

C

Cuerdas
congruentes
Arcos congruentes

B

Las cuerdas
equidistan del
centro

D

Si
Si::AB
AB 
CD
CD
 mAB
mAB 
mCD
mCD

POSICIONES RELATIVAS DE DOS
CIRCUNFERENCIAS

R

01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.

r

dd == Cero
Cero ;; dd :: distancia
distancia

02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- Notienen punto en común.

r

R

R

r

Distancia entre
los centros (d)

dd >> R
R ++ rr

03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un
punto común que es la de tangencia.
Punto de tangencia

Distancia entre
los centros (d)

dd == RR ++ rr

r

r

R

R

04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un
punto en común que es la de tangencia.
Punto de
tangencia

R

r
R
d

dd == R
R -- rrd: Distancia entre los centros

05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes
que son las intersecciones.

R

r

Distancia entre
los centros (d)

(( R
R––rr)) << dd << (( R
R++ rr))

06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son
perpendiculares en el punto de intersección.

r

R

Distancia entre
los centros (d)

2
2
dd22 == R
R2 ++rr2

06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienenpuntos comunes.

r

R

d
dd << R
R -- rr

d: Distancia entre los centros

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede
trazar dos rayos tangentes que determinan dos
segmentos congruentes.

A

R



R
B

AP
AP == PB
PB

P

2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes

A
B
R

r
r

R

D
C
AB
AB == CD
CD

3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Soncongruentes.

A
D

R

r
r

R

B
C
AB
AB == CD
CD

1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la
medida del arco que se opone.

A
r
C



r
B

 ==mAB
mAB

2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la
semisuma de las medidas de los arcos
opuestos
D
A

C
B

mAB
mCD
mAB
mCD


22

3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida
del arco opuesto.

A

B


C

mAB
mAB
 

22

4.-MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSCRITO.- Es igual al
medida del arco opuesto.

A
C


B

mAB
mAB
 

22

1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de
la medida del arco ABC.

A


C

B

mABC
mABC
 

22

6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es
igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos
opuestos.

A

C

mACB
--mABmACB
mAB
 

22


B

O

 ++ mAB
mAB == 180°
180°

b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.

B
C


D
A

mAB
--mCD
mAB
mCD



2
2

O

c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los
arcos opuestos.

B


C
A

mAB
-- mBC
mAB
mBC
 

22

OProblema Nº 01
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS
mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la
medida del ángulo PSQ.
RESOLUCIÓN
Por ángulo semi-inscrito PQS
PSQ = x

mPQS 

Se traza la cuerda SQ

Q
70º+x

2X

50°

P

mQRS
2

Reemplazando:

140 º 2x
mPQS 
70º x
2
En el triángulo PQS:

R

X
S

140°

X + (X+70) + 50° =...